标准几何中的每个 3D 立体 — 立方体、长方体（盒子）、圆柱、球体、圆锥、正方形棱锥 — 都有一个单行的体积公式和一个单行的表面积公式。记住这些，你就覆盖了 95% 的学校 3D 问题。这个指南将它们全部收集在一处，并附有实例计算。
| 立体 | 体积 (V) | 表面积 (SA) |
|---|---|---|
| 立方体 (边长 s) | s³ | 6s² |
| 长方体 (l, w, h) | l × w × h | 2(lw + lh + wh) |
| 圆柱 (r, h) | πr²h | 2πr² + 2πrh |
| 球体 (r) | (4/3)πr³ | 4πr² |
| 圆锥 (r, h) | (1/3)πr²h | πr² + πrl, where l = √(r² + h²) |
| 正方形棱锥 (b, h) | (1/3)b²h | b² + 2b · slant_height |
| 三角棱柱 (B, h) | B × h (B = triangle area) | 2B + perimeter × h |
最简单的 3D 形状 — 所有 12 条边相等，6 个正方形面。
示例： 边长 4 cm 的立方体：V = 64 cm³, SA = 96 cm², 对角线 = 4√3 ≈ 6.93 cm。
长度 l，宽度 w，高度 h。现实生活中最常见的 3D 立体（房间、盒子、游泳池）。
示例： 一个 8 × 5 × 3 的盒子：V = 120, SA = 2(40 + 24 + 15) = 158, d = √(64+25+9) = √98 ≈ 9.90。
两个圆形底面（半径 r）由弯曲的侧面连接，高度 h。
示例： 圆柱 r = 3, h = 10：V = π × 9 × 10 = 90π ≈ 282.74, SA = 2π × 9 + 2π × 30 = 78π ≈ 245.04。
最简单的 3D 形状 — 仅由半径定义。体积和表面积都仅取决于 r。
示例： 直径 24 cm 的篮球有 r = 12。V = (4/3)π × 1728 = 2304π ≈ 7238 cm³, SA = 4π × 144 = 576π ≈ 1810 cm²。
一个圆形底面（半径 r）逐渐收窄到一个点，高度 h。这是其中最棘手的，因为表面积使用斜高（不是垂直高度）。
示例： 圆锥 r = 6, h = 8。斜高 l = √(36 + 64) = √100 = 10。V = (1/3)π × 36 × 8 = 96π ≈ 301.59, SA = π × 6 × (6 + 10) = 96π ≈ 301.59 cm²。
正方形底面（边长 b）逐渐收窄到一个点，垂直高度 h。
这是几何中一个很酷的事实：具有相同底面和相同高度的圆锥和圆柱 — 圆锥的体积正好是圆柱的 1/3。你可以用水实验验证：填充一个圆锥形容器，倒入相同尺寸的圆柱 — 需要正好 3 个圆锥满的量。同样适用于具有相同底面 + 高度的棱锥与棱柱。
两种推导方法：(1) 微积分积分盘片切片，(2) Cavalieri 原理与去除圆锥的圆柱比较。“(4/3)” 来自积分 ∫(πr² − πx²) dx 从 −r 到 r 的求值。