Tous les solides 3D en géométrie standard — cube, prisme rectangulaire (boîte), cylindre, sphère, cône, pyramide carrée — ont une formule de volume en une ligne et une formule d'aire de surface en une ligne. Mémorisez-les et vous couvrirez 95 % des problèmes 3D scolaires. Ce guide les rassemble tous en un seul endroit avec des exemples résolus.
| Solide | Volume (V) | Aire de surface (SA) |
|---|---|---|
| Cube (côté s) | s³ | 6s² |
| Prisme rectangulaire (l, l, h) | l × w × h | 2(lw + lh + wh) |
| Cylindre (r, h) | πr²h | 2πr² + 2πrh |
| Sphère (r) | (4/3)πr³ | 4πr² |
| Cône (r, h) | (1/3)πr²h | πr² + πrl, où l = √(r² + h²) |
| Pyramide carrée (b, h) | (1/3)b²h | b² + 2b · hauteur_inclinée |
| Prisme triangulaire (B, h) | B × h (B = aire du triangle) | 2B + périmètre × h |
La forme 3D la plus simple — toutes les 12 arêtes égales, 6 faces carrées.
Exemple : un cube de côté 4 cm : V = 64 cm³, SA = 96 cm², diagonale = 4√3 ≈ 6,93 cm.
Longueur l, largeur w, hauteur h. Le solide 3D le plus courant dans la vie réelle (pièces, boîtes, piscines).
Exemple : une boîte 8 × 5 × 3 : V = 120, SA = 2(40 + 24 + 15) = 158, d = √(64+25+9) = √98 ≈ 9,90.
Deux bases circulaires (rayon r) reliées par une surface latérale courbe, hauteur h.
Exemple : cylindre r = 3, h = 10 : V = π × 9 × 10 = 90π ≈ 282,74, SA = 2π × 9 + 2π × 30 = 78π ≈ 245,04.
La forme 3D la plus simple — définie par le rayon seul. Le volume et l'aire de surface dépendent tous deux uniquement de r.
Exemple : un ballon de basket de diamètre 24 cm a r = 12. V = (4/3)π × 1728 = 2304π ≈ 7238 cm³, SA = 4π × 144 = 576π ≈ 1810 cm².
Une base circulaire (rayon r) se rétrécissant en un point unique, hauteur h. Le plus délicat du lot car l'aire de surface utilise la HAUTEUR INCLINÉE (pas la hauteur verticale).
Exemple : cône r = 6, h = 8. Inclinée l = √(36 + 64) = √100 = 10. V = (1/3)π × 36 × 8 = 96π ≈ 301,59, SA = π × 6 × (6 + 10) = 96π ≈ 301,59 cm².
Base carrée (côté b) se rétrécissant en un point, hauteur verticale h.
C'est l'un des faits les plus cool en géométrie : un cône et un cylindre avec la même base et la même hauteur — le cône a exactement 1/3 du volume du cylindre. Vous pouvez le vérifier expérimentalement avec de l'eau : remplissez un récipient en forme de cône, versez dans un cylindre de mêmes dimensions — il faut exactement 3 pleins de cône. La même chose s'applique à la pyramide vs prisme avec la même base + hauteur.
Deux façons de dériver : (1) intégration calculus de tranches de disque, (2) principe de Cavalieri en comparant à un cylindre avec cônes enlevés. Le "(4/3)" vient de l'intégrale ∫(πr² − πx²) dx évaluée de −r à r.