Todo sólido 3D na geometria padrão — cubo, prisma retangular (caixa), cilindro, esfera, cone, pirâmide quadrada — tem uma fórmula de volume de uma linha e uma fórmula de área superficial de uma linha. Memorize essas e você cobriu 95% dos problemas 3D escolares. Este guia coleta todas em um só lugar com exemplos resolvidos.
| Sólido | Volume (V) | Área Superficial (SA) |
|---|---|---|
| Cubo (lado s) | s³ | 6s² |
| Prisma Retangular (l, w, h) | l × w × h | 2(lw + lh + wh) |
| Cilindro (r, h) | πr²h | 2πr² + 2πrh |
| Esfera (r) | (4/3)πr³ | 4πr² |
| Cone (r, h) | (1/3)πr²h | πr² + πrl, onde l = √(r² + h²) |
| Pirâmide Quadrada (b, h) | (1/3)b²h | b² + 2b · altura_inclinada |
| Prisma Triangular (B, h) | B × h (B = área do triângulo) | 2B + perímetro × h |
A forma 3D mais simples — todas as 12 arestas iguais, 6 faces quadradas.
Exemplo: um cubo com lado 4 cm: V = 64 cm³, SA = 96 cm², diagonal = 4√3 ≈ 6.93 cm.
Comprimento l, largura w, altura h. O sólido 3D mais comum na vida real (quartos, caixas, piscinas).
Exemplo: uma caixa 8 × 5 × 3: V = 120, SA = 2(40 + 24 + 15) = 158, d = √(64+25+9) = √98 ≈ 9.90.
Duas bases circulares (raio r) conectadas por uma superfície lateral curva, altura h.
Exemplo: cilindro r = 3, h = 10: V = π × 9 × 10 = 90π ≈ 282.74, SA = 2π × 9 + 2π × 30 = 78π ≈ 245.04.
A forma 3D mais simples — definida apenas pelo raio. Volume e área superficial dependem apenas de r.
Exemplo: uma bola de basquete com diâmetro 24 cm tem r = 12. V = (4/3)π × 1728 = 2304π ≈ 7238 cm³, SA = 4π × 144 = 576π ≈ 1810 cm².
Uma base circular (raio r) afunilando para um único ponto, altura h. O mais complicado do grupo porque a área superficial usa a ALTURA INCLINADA (não a altura vertical).
Exemplo: cone r = 6, h = 8. Inclinação l = √(36 + 64) = √100 = 10. V = (1/3)π × 36 × 8 = 96π ≈ 301.59, SA = π × 6 × (6 + 10) = 96π ≈ 301.59 cm².
Base quadrada (lado b) afunilando para um ponto, altura vertical h.
Este é um dos fatos mais legais da geometria: um cone e um cilindro com a mesma base e mesma altura — o cone tem exatamente 1/3 do volume do cilindro. Você pode verificar experimentalmente com água: encha um recipiente em forma de cone, despeje em um cilindro das mesmas dimensões — leva exatamente 3 cone-cheios. O mesmo se aplica a pirâmide vs prisma com a mesma base + altura.
Duas maneiras de derivar: (1) integração de cálculo de fatias de disco, (2) princípio de Cavalieri comparando com um cilindro com cones removidos. O "(4/3)" vem da integral ∫(πr² − πx²) dx avaliada de −r a r.