Un trapecio (llamado "trapezoides" en inglés británico) es un cuadrilátero con al menos un par de lados paralelos. Su fórmula de área es:
A = ½(b₁ + b₂)h
donde b₁ y b₂ son las longitudes de los dos lados paralelos (las "bases") y h es la distancia perpendicular entre ellas (la "altura"). Esta guía demuestra la fórmula geométricamente, muestra 4 ejemplos resueltos y cubre casos especiales, incluyendo los trapecios isósceles y el detalle terminológico del "trapezoides" británico.
Un trapecio tiene cuatro lados. Exactamente dos de ellos son paralelos: esas son las bases, denominadas b₁ (la más larga por convención) y b₂ (la más corta).
Los otros dos lados son los lados no paralelos. No son paralelos entre sí en un trapecio general; si lo fueran, la figura sería un paralelogramo.
La altura h es la distancia perpendicular entre los dos lados paralelos — medida en línea recta, no a lo largo de un lado no paralelo.
Una demostración visual rápida: toma dos copias idénticas del trapecio, voltea una boca abajo y únelas a lo largo de un lado no paralelo. La figura combinada es un paralelogramo con base (b₁ + b₂) y altura h. El área del paralelogramo es base × altura = (b₁ + b₂) × h. Como esto contiene dos copias del trapecio original, el área de un trapecio es la mitad: (b₁ + b₂) × h / 2.
Una demostración alternativa: corta el trapecio con una diagonal en dos triángulos. Un triángulo tiene base b₁ y altura h (área = ½ × b₁ × h). El otro tiene base b₂ y altura h (área = ½ × b₂ × h). Suma: ½b₁h + ½b₂h = ½(b₁ + b₂)h.
De cualquier manera, la fórmula se obtiene claramente.
Un trapecio tiene lados paralelos de 8 cm y 12 cm, y la distancia perpendicular entre ellos es de 5 cm.
A = ½(8 + 12)(5) = ½(20)(5) = ½(100) = 50 cm².
Un trapecio tiene un área de 60 cm², bases de 8 cm y 12 cm. Encuentra su altura.
60 = ½(8 + 12) × h
60 = ½ × 20 × h
60 = 10h
h = 6 cm
La fórmula se reordena claramente: h = 2A / (b₁ + b₂).
Un trapecio isósceles tiene bases de 6 y 10, y lados no paralelos (laterales) de longitud 5. Encuentra su área.
Un trapecio isósceles tiene dos lados no paralelos de igual longitud. Por simetría, si trazas perpendiculares desde los extremos de la base más corta hasta la base más larga, estas cortan dos triángulos rectángulos congruentes en cada extremo. Cada triángulo tiene hipotenusa 5 (el lado no paralelo) y cateto horizontal (10 − 6) / 2 = 2.
Por el teorema de Pitágoras, la altura (cateto vertical) es h = √(5² − 2²) = √21 ≈ 4,58.
Área = ½(6 + 10)(√21) = 8√21 ≈ 36,66 cm².
Un trapecio tiene vértices en (0, 0), (6, 0), (4, 3) y (1, 3). Encuentra su área.
Las bases son los dos segmentos horizontales (ya que ambos pares de puntos tienen valores de y iguales). Base superior: de (1, 3) a (4, 3) tiene longitud 3. Base inferior: de (0, 0) a (6, 0) tiene longitud 6. Altura: la distancia vertical entre y = 0 y y = 3 es h = 3.
A = ½(3 + 6)(3) = ½(9)(3) = 13,5 unidades cuadradas.
La fórmula del área funciona para los tres tipos — solo importan las longitudes de las bases y la altura.
En inglés americano, un trapezoid tiene al menos un par de lados paralelos, y un trapezium es un cuadrilátero SIN lados paralelos.
En inglés británico (y en la mayor parte del mundo fuera de EE.UU.), los significados están invertidos: un trapezium tiene al menos un par de lados paralelos, y un trapezoid no tiene ninguno.
Si estás leyendo un libro de texto o un artículo, verifica qué convención utiliza. La fórmula A = ½(b₁ + b₂)h se aplica a la forma con lados paralelos — sin importar qué nombre le dé la fuente.
La mayoría de los libros de texto americanos modernos usan la definición inclusiva: un trapecio tiene al menos un par de lados paralelos. Bajo esta definición, los paralelogramos son casos especiales de trapecios (tienen dos pares).
La antigua definición exclusiva requería exactamente un par de lados paralelos, excluyendo los paralelogramos. La geometría contemporánea utiliza mayoritariamente la definición inclusiva porque hace que los teoremas y fórmulas sean más generales.
Para problemas de área de trapecios con los cuatro lados dados, usa la Calculadora de Trapecios. Para el caso general de "área de cualquier cuadrilátero" donde la figura no es necesariamente un trapecio, consulta Área de Cualquier Polígono. Para el paralelogramo relacionado (un trapecio con ambos pares de lados paralelos), ve las Calculadoras de Paralelogramos.
¿Cómo encuentro el área de un trapecio si solo conozco sus cuatro lados? Necesitas la altura o suficiente información para derivarla. Con cuatro lados dados pero sin altura perpendicular, puedes usar las longitudes de las diagonales o resolver mediante el teorema de Pitágoras si el trapecio es isósceles o tiene un ángulo recto. Para trapecios arbitrarios a partir solo de cuatro longitudes de lados, el área no está determinada de manera única.
¿Cuál es la diferencia entre un trapecio y un paralelogramo? Un paralelogramo tiene ambos pares de lados opuestos paralelos. Un trapecio (americano) tiene al menos un par paralelo. Bajo la definición inclusiva, todo paralelogramo es un trapecio; bajo la definición exclusiva, ningún paralelogramo es un trapecio.
¿Cuál es el área de un "trapecio regular"? "Trapecio regular" no es un término estándar — la mayoría de los trapecios no son regulares en el sentido poligonal (solo los polígonos regulares tienen todos los lados Y ángulos iguales, lo que los convertiría en paralelogramos o peor, en cuadrados). Quizás escuchaste "trapecio isósceles" — consulta la sección anterior.