Ein Trapez (im britischen Englisch auch "Trapezium" genannt) ist ein Viereck mit mindestens einem Paar paralleler Seiten. Seine Flächenformel lautet:
A = ½(b₁ + b₂)h
wobei b₁ und b₂ die Längen der beiden parallelen Seiten (die "Grundseiten") sind und h der senkrechte Abstand zwischen ihnen ist (die "Höhe"). Diese Anleitung beweist die Formel geometrisch, führt durch 4 durchgerechnete Beispiele und behandelt Sonderfälle, darunter gleichschenklige Trapeze und die britische "Trapezium"-Terminologie-Falle.
Ein Trapez hat vier Seiten. Genau zwei davon sind parallel – das sind die Grundseiten, bezeichnet als b₁ (nach Konvention die längere) und b₂ (die kürzere).
Die anderen beiden Seiten sind die Schenkel. Sie sind in einem allgemeinen Trapez nicht zueinander parallel; wären sie es, wäre die Figur stattdessen ein Parallelogramm.
Die Höhe h ist der senkrechte Abstand zwischen den beiden parallelen Seiten – gerade hindurch gemessen, nicht entlang eines Schenkels.
Ein schneller visueller Beweis: Nehmen Sie zwei identische Kopien des Trapezes, drehen Sie eine davon auf den Kopf und verbinden Sie sie entlang eines Schenkels. Die kombinierte Figur ist ein Parallelogramm mit Grundseite (b₁ + b₂) und Höhe h. Die Fläche des Parallelogramms ist Grundseite × Höhe = (b₁ + b₂) × h. Da dies zwei Kopien des ursprünglichen Trapezes enthält, ist die Fläche eines Trapezes die Hälfte: (b₁ + b₂) × h / 2.
Ein alternativer Beweis: Schneiden Sie das Trapez mit einer Diagonale in zwei Dreiecke. Ein Dreieck hat die Grundseite b₁ und die Höhe h (Fläche = ½ × b₁ × h). Das andere hat die Grundseite b₂ und die Höhe h (Fläche = ½ × b₂ × h). Summe: ½b₁h + ½b₂h = ½(b₁ + b₂)h.
Auf welche Weise auch immer, die Formel ergibt sich auf elegante Weise.
Ein Trapez hat parallele Seiten von 8 cm und 12 cm, und der senkrechte Abstand zwischen ihnen beträgt 5 cm.
A = ½(8 + 12)(5) = ½(20)(5) = ½(100) = 50 cm².
Ein Trapez hat eine Fläche von 60 cm², Grundseiten von 8 cm und 12 cm. Finden Sie seine Höhe.
60 = ½(8 + 12) × h
60 = ½ × 20 × h
60 = 10h
h = 6 cm
Die Formel lässt sich einfach umstellen: h = 2A / (b₁ + b₂).
Ein gleichschenkliges Trapez hat die Grundseiten 6 und 10 und die Schenkellänge 5. Finden Sie seine Fläche.
Ein gleichschenkliges Trapez hat zwei Schenkel gleicher Länge. Aufgrund der Symmetrie schneiden die von den Endpunkten der kürzeren Grundseite auf die längere Grundseite gefällten Senkrechten an jedem Ende zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke ab. Jedes Dreieck hat die Hypotenuse 5 (den Schenkel) und die horizontale Kathete (10 − 6) / 2 = 2.
Nach dem Satz des Pythagoras ist die Höhe (die vertikale Kathete) h = √(5² − 2²) = √21 ≈ 4,58.
Fläche = ½(6 + 10)(√21) = 8√21 ≈ 36,66 cm².
Ein Trapez hat die Scheitelpunkte bei (0, 0), (6, 0), (4, 3) und (1, 3). Finden Sie seine Fläche.
Die Grundseiten sind die beiden horizontalen Segmente (da bei beiden Punktepaaren die y-Werte übereinstimmen). Obere Grundseite: von (1, 3) bis (4, 3) hat die Länge 3. Untere Grundseite: von (0, 0) bis (6, 0) hat die Länge 6. Höhe: vertikaler Abstand zwischen y = 0 und y = 3 ist h = 3.
A = ½(3 + 6)(3) = ½(9)(3) = 13,5 Flächeneinheiten.
Die Flächenformel funktioniert für alle drei Typen – nur die Längen der Grundseiten und die Höhe sind entscheidend.
Im amerikanischen Englisch hat ein Trapez mindestens ein Paar paralleler Seiten, und ein Trapezium ist ein Viereck OHNE parallele Seiten.
Im britischen Englisch (und in den meisten Teilen der Welt außerhalb der USA) sind die Bedeutungen vertauscht: ein Trapezium hat mindestens ein Paar paralleler Seiten, und ein Trapez hat keine.
Wenn Sie ein Lehrbuch oder eine Facharbeit lesen, prüfen Sie, welche Konvention es verwendet. Die Formel A = ½(b₁ + b₂)h gilt für die Form mit parallelen Seiten – unabhängig davon, welchen Namen die Quelle dafür verwendet.
Die meisten modernen amerikanischen Lehrbücher verwenden die inklusive Definition: Ein Trapez hat mindestens ein Paar paralleler Seiten. Unter dieser Definition sind Parallelogramme Sonderfälle von Trapezen (sie haben zwei Paare).
Die ältere exklusive Definition verlangte genau ein Paar paralleler Seiten, was Parallelogramme ausschloss. Die zeitgenössische Geometrie verwendet meist die inklusive Definition, weil sie Theoreme und Formeln allgemeiner macht.
Für Trapezflächenprobleme mit allen vier Seiten verwenden Sie den Trapez-Rechner. Für den allgemeinen Fall der "Fläche eines beliebigen Vierecks", bei dem die Figur nicht unbedingt ein Trapez sein muss, siehe Fläche eines beliebigen Polygons. Für das verwandte Parallelogramm (ein Trapez mit zwei Paaren paralleler Seiten) siehe die Parallelogramm-Rechner.
Wie finde ich die Fläche eines Trapezes, wenn nur seine vier Seiten gegeben sind? Sie benötigen entweder die Höhe oder genügend Informationen, um sie abzuleiten. Bei vier gegebenen Seiten ohne senkrechte Höhe können Sie die Diagonalenlängen verwenden oder über den Satz des Pythagoras lösen, wenn das Trapez gleichschenklig ist oder einen rechten Winkel hat. Für willkürliche Trapeze allein aus vier Seitenlängen ist die Fläche nicht eindeutig bestimmt.
Was ist der Unterschied zwischen einem Trapez und einem Parallelogramm? Ein Parallelogramm hat beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel. Ein Trapez (amerikanisch) hat mindestens ein Paar paralleler Seiten. Unter der inklusiven Definition ist jedes Parallelogramm ein Trapez; unter der exklusiven Definition ist kein Parallelogramm ein Trapez.
Was ist die Fläche eines regelmäßigen Trapezes? "Regelmäßiges Trapez" ist kein Standardbegriff – die meisten Trapeze sind im Sinne von Polygonen nicht regelmäßig (nur regelmäßige Polygone haben alle Seiten UND Winkel gleich, was sie zu Parallelogrammen oder schlimmstensfalls Quadraten machen würde). Sie haben vielleicht "gleichschenkliges Trapez" gehört – siehe den Abschnitt oben.