Un trapèze (appelé "trapezium" en anglais britannique) est un quadrilatère ayant au moins une paire de côtés parallèles. Sa formule d'aire est :
A = ½(b₁ + b₂)h
où b₁ et b₂ sont les longueurs des deux côtés parallèles (les "bases") et h est la distance perpendiculaire entre elles (la "hauteur"). Ce guide prouve la formule géométriquement, passe en revue 4 exemples travaillés et couvre les cas particuliers, notamment les trapèzes isocèles et le piège de terminologie du "trapezium" britannique.
Un trapèze a quatre côtés. Exactement deux d'entre eux sont parallèles — ce sont les bases, étiquetées b₁ (la plus longue par convention) et b₂ (la plus courte).
Les deux autres côtés sont les côtés non parallèles (ou "jambes"). Ils ne sont pas parallèles entre eux dans un trapèze général ; s'ils l'étaient, la figure serait un parallélogramme.
La hauteur h est la distance perpendiculaire entre les deux côtés parallèles — mesurée directement, pas le long d'un côté non parallèle.
Une preuve visuelle rapide : prenez deux copies identiques du trapèze, retournez l'une d'entre elle à l'envers, et assemblez-les le long d'un côté non parallèle. La figure combinée est un parallélogramme de base (b₁ + b₂) et de hauteur h. L'aire du parallélogramme est base × hauteur = (b₁ + b₂) × h. Comme cela contient deux copies du trapèze original, l'aire d'un trapèze est la moitié : (b₁ + b₂) × h / 2.
Une preuve alternative : coupez le trapèze par une diagonale en deux triangles. Un triangle a une base b₁ et une hauteur h (aire = ½ × b₁ × h). L'autre a une base b₂ et une hauteur h (aire = ½ × b₂ × h). Somme : ½b₁h + ½b₂h = ½(b₁ + b₂)h.
Dans les deux cas, la formule se dégage clairement.
Un trapèze a des côtés parallèles de 8 cm et 12 cm, et la distance perpendiculaire entre eux est de 5 cm.
A = ½(8 + 12)(5) = ½(20)(5) = ½(100) = 50 cm².
Un trapèze a une aire de 60 cm², des bases de 8 cm et 12 cm. Trouvez sa hauteur.
60 = ½(8 + 12) × h
60 = ½ × 20 × h
60 = 10h
h = 6 cm
La formule se réarrange proprement : h = 2A / (b₁ + b₂).
Un trapèze isocèle a des bases de 6 et 10, et des côtés non parallèles obliques de longueur 5. Trouvez son aire.
Un trapèze isocèle a deux côtés non parallèles de longueur égale. Par symétrie, si vous abaissez des perpendiculaires depuis les extrémités de la base la plus courte vers la base la plus longue, elles coupent deux triangles rectangles congrus à chaque extrémité. Chaque triangle a une hypoténuse de 5 (le côté non parallèle) et un côté horizontal de (10 − 6) / 2 = 2.
D'après le théorème de Pythagore, la hauteur (côté vertical) est h = √(5² − 2²) = √21 ≈ 4,58.
Aire = ½(6 + 10)(√21) = 8√21 ≈ 36,66 cm².
Un trapèze a des sommets en (0, 0), (6, 0), (4, 3) et (1, 3). Trouvez son aire.
Les bases sont les deux segments horizontaux (puisque les deux paires de points ont des valeurs y correspondantes). Base supérieure : de (1, 3) à (4, 3) a une longueur de 3. Base inférieure : de (0, 0) à (6, 0) a une longueur de 6. Hauteur : la distance verticale entre y = 0 et y = 3 est h = 3.
A = ½(3 + 6)(3) = ½(9)(3) = 13,5 unités carrées.
La formule de l'aire fonctionne pour les trois types — seules les longueurs des bases et la hauteur importent.
En anglais américain, un trapezoid (trapèze) a au moins une paire de côtés parallèles, et un trapezium est un quadrilatère SANS côtés parallèles.
En anglais britannique (et dans la majeure partie du monde en dehors des États-Unis), les significations sont inversées : un trapezium (trapèze) a au moins une paire de côtés parallèles, et un trapezoid n'en a aucune.
Si vous lisez un manuscrit ou un article, vérifiez quelle convention il utilise. La formule A = ½(b₁ + b₂)h s'applique à la figure avec des côtés parallèles — quel que soit le nom que la source lui donne.
La plupart des manuels américains modernes utilisent la définition inclusive : un trapèze a au moins une paire de côtés parallèles. Selon cette définition, les parallélogrammes sont des cas particuliers de trapèzes (ils en ont deux paires).
L'ancienne définition exclusive exigeait exactement une paire de côtés parallèles, excluant les parallélogrammes. La géométrie contemporaine utilise majoritairement la définition inclusive car elle rend les théorèmes et les formules plus généraux.
Pour les problèmes d'aire de trapèze avec les quatre côtés donnés, utilisez le Calculateur de trapèze. Pour le cas général de "l'aire de tout quadrilatère" où la figure n'est pas nécessairement un trapèze, voir Aire de tout polygone. Pour le parallélogramme apparenté (un trapèze avec les deux paires de côtés parallèles), voir les Calculateurs de parallélogramme.
Comment trouver l'aire d'un trapèze connaissant seulement ses quatre côtés ? Vous avez besoin soit de la hauteur, soit d'assez d'informations pour la déduire. Avec quatre côtés donnés mais sans hauteur perpendiculaire, vous pouvez utiliser les longueurs des diagonales ou résoudre via le théorème de Pythagore si le trapèze est isocèle ou a un angle droit. Pour les trapèzes arbitraires à partir des seules longueurs des quatre côtés, l'aire n'est pas déterminée de manière unique.
Quelle est la différence entre un trapèze et un parallélogramme ? Un parallélogramme a les deux paires de côtés opposés parallèles. Un trapèze (américain) a au moins une paire de parallèles. Selon la définition inclusive, tout parallélogramme est un trapèze ; selon la définition exclusive, aucun parallélogramme n'est un trapèze.
Quelle est l'aire d'un trapèze régulier ? "Trapèze régulier" n'est pas un terme standard — la plupart des trapèzes ne sont pas réguliers au sens des polygones (seuls les polygones réguliers ont tous les côtés ET les angles égaux, ce qui en ferait des parallélogrammes ou pire, des carrés). Vous avez peut-être entendu "trapèze isocèle" — voir la section ci-dessus.