台形の面積の求め方 — 公式、証明、例題

台形（英語圏では「trapezium」とも呼ばれる）は、少なくとも一組の平行な辺を持つ四角形です。その面積の公式は次のとおりです：

A = ½(b₁ + b₂)h

ここで、b₁ と b₂ は二つの平行な辺（「底辺」）の長さ、h はそれらの間の垂直距離（「高さ」）です。このガイドでは、この公式を幾何学的に証明し、4つの計算例を詳しく説明し、二等辺台形やイギリス英語の「trapezium」という用語の注意点など、特殊なケースについても扱います。

台形の構成要素

台形には四つの辺があります。そのうち正確に二つが平行です — それらが底辺で、慣例により b₁（より長い方）と b₂（より短い方）と名付けられます。

他の二つの辺は脚です。一般的な台形では、これらは互いに平行ではありません。もし平行であれば、その図形は平行四辺形となります。

高さ h は、二つの平行な辺の間の垂直距離です — 脚に沿ってではなく、まっすぐに測った距離です。

なぜ公式が ½(b₁ + b₂)h になるのか

一つの簡単な視覚的な証明：同じ台形を二つ用意し、一方を上下逆さまにし、脚に沿って結合します。組み合わさった図形は、底辺が (b₁ + b₂) で高さが h の平行四辺形となります。平行四辺形の面積は 底辺 × 高さ = (b₁ + b₂) × h です。これが元の台形の二つ分を含んでいるので、台形一つの面積は半分になります： (b₁ + b₂) × h / 2。

別の証明：台形を対角線で切り、二つの三角形に分けます。一つの三角形は底辺 b₁、高さ h（面積 = ½ × b₁ × h）。もう一つは底辺 b₂、高さ h（面積 = ½ × b₂ × h）。合計： ½b₁h + ½b₂h = ½(b₁ + b₂)h。

いずれの方法でも、公式はきれいに導出されます。

計算例 1 — 標準的な台形

台形の平行な辺が 8 cm と 12 cm、それらの間の垂直距離が 5 cm であるとします。

A = ½(8 + 12)(5) = ½(20)(5) = ½(100) = 50 cm²。

計算例 2 — 欠けている次元の特定

台形の面積が 60 cm²、底辺が 8 cm と 12 cm であるとします。高さを求めてください。

60 = ½(8 + 12) × h
60 = ½ × 20 × h
60 = 10h
h = 6 cm

公式をきれいに変形すると： h = 2A / (b₁ + b₂)。

計算例 3 — 異なる与えられた条件を持つ二等辺台形

二等辺台形の底辺が 6 と 10、斜辺の脚の長さが 5 です。面積を求めてください。

二等辺台形は二つの脚が等しい長さを持ちます。対称性により、短い底辺の端点から長い底辺に垂線を下ろすと、各端に合同な直角三角形が二つできます。各三角形の斜辺は 5（脚）、水平な辺は (10 − 6) / 2 = 2 です。

三平方の定理により、高さ（垂直な辺）は h = √(5² − 2²) = √21 ≈ 4.58 です。

面積 = ½(6 + 10)(√21) = 8√21 ≈ 36.66 cm²。

計算例 4 — 座標平面上の台形

台形の頂点が (0, 0)、(6, 0)、(4, 3)、(1, 3) にあります。面積を求めてください。

底辺は二つの水平な線分です（両方の点の組が一致する y 座標を持ちます）。上の底辺： (1, 3) から (4, 3) までで長さ 3。下の底辺： (0, 0) から (6, 0) までで長さ 6。高さ： y = 0 と y = 3 の間の垂直距離で h = 3。

A = ½(3 + 6)(3) = ½(9)(3) = 13.5 平方単位。

台形の特殊な種類

• 直角台形： 底辺と脚の間に一組の直角を持つもの。この「直角な」脚そのものが高さとなります。建築や切妻屋根の形状で一般的です。
• 二等辺台形： 二つの脚が等しい長さを持つもの。底角（各底辺にある二つの角）が等しくなります。対角線も等しくなります。
• 不等辺台形： 四つの辺すべてが異なる長さを持つもの。

面積の公式はこの三種類すべてに適用されます — 底辺の長さと高さのみが重要です。

イギリス英語の「trapezium」という用語

アメリカ英語では、trapezoid（台形）は少なくとも一組の平行な辺を持ち、trapezium（平行四辺形でない四角形）は平行な辺を一つも持たない四角形です。

イギリス英語では（そして米国以外の世界の大半では）、意味が逆転しています：trapezium が少なくとも一組の平行な辺を持ち、trapezoid が平行な辺を一つも持たない四角形を指します。

教科書や論文を読む際は、それがどの慣例を使用しているかを確認してください。公式 A = ½(b₁ + b₂)h は、平行な辺を持つ図形に適用されます — 出典がそれにどんな名前を付けていても構いません。

「包含的」定義と「排他的」定義

現代の多くのアメリカの教科書では包含的定義を使用しています：台形は少なくとも一組の平行な辺を持つもの。この定義の下では、平行四辺形は台形の特殊なケースです（二組の平行辺を持ちます）。

古い排他的定義では、正確に一組の平行な辺を要求し、平行四辺形を除外していました。現代の幾何学の多くは、定理や公式をより一般的にするため、包含的定義を使用しています。

よくある間違い

• 脚の長さを高さとして使用すること。 高さは底辺間の垂直な距離です — 直角台形でのみ脚と等しくなります。他の台形では、高さは別途求める必要があります（脚と底辺のずれが分かっている場合、しばしば三平方の定理を用います）。
• ½ を忘れること。 公式の前には ½ の因子があります。それがないと、台形の面積の二倍を得ることになり、それは「台形を二倍にする」証明の平行四辺形とまさに同じです。
• 底辺を加算して平均する代わりにすること。 公式は二つの底辺の平均に高さを掛けたものです： (b₁ + b₂)/2 × h。 (b₁ + b₂) × h と計算した場合、2で割るのを忘れています。
• 斜めの長さを垂直距離として使用すること。 「脚を高さとして使う」間違いと形は異なりますが同じものです。公式の h は常に垂直距離です。

自分で試してみよう

四辺すべてが与えられた台形の面積の問題には、台形計算機を使用してください。図形が必ずしも台形ではない一般的な「任意の四角形の面積」のケースについては、任意の多角形の面積を参照してください。関連する平行四辺形（二組の辺が平行な台形）については、平行四辺形計算機を参照してください。

FAQ

台形の四辺だけが与えられた場合、面積はどう求めますか？ 高さか、それを導くのに十分な情報が必要です。四辺が与えられていても垂直な高さがない場合、台形が二等辺台形や直角台形であれば、対角線の長さや三平方の定理を用いて解くことができます。四辺の長さだけからの任意の台形の場合、面積は一意に定まりません。

台形と平行四辺形の違いは何ですか？ 平行四辺形は向かい合う辺の二組がすべて平行です。台形（アメリカの定義）は少なくとも一組の平行な辺を持ちます。包含的定義の下では、すべての平行四辺形は台形です。排他的定義の下では、平行四辺形は台形ではありません。

正則台形の面積はどうなりますか？ 「正則台形」は標準的な用語ではありません — 大抵の台形は多角形としての意味での正則ではありません（正則多角形はすべての辺と角が等しく、それは平行四辺形や正方形になります）。もしかしたら「二等辺台形」のことかもしれません — 上記のセクションを参照してください。