Um trapézio (chamado "trapezium" no inglês britânico) é um quadrilátero com pelo menos um par de lados paralelos. Sua fórmula de área é:
A = ½(b₁ + b₂)h
onde b₁ e b₂ são os comprimentos dos dois lados paralelos (as "bases") e h é a distância perpendicular entre elas (a "altura"). Este guia prova a fórmula geometricamente, percorre 4 exemplos resolvidos e abrange casos especiais, incluindo trapézios isósceles e a armadilha da terminologia britânica "trapezium".
Um trapézio tem quatro lados. Exatamente dois deles são paralelos — esses são as bases, rotuladas b₁ (a maior por convenção) e b₂ (a menor).
Os outros dois lados são os lados laterais. Eles não são paralelos entre si em um trapézio geral; se fossem, a figura seria um paralelogramo.
A altura h é a distância perpendicular entre os dois lados paralelos — medida diretamente, não ao longo de um lado lateral.
Uma prova visual rápida: pegue duas cópias idênticas do trapézio, inverta uma delas e junte-as ao longo de um lado lateral. A figura combinada é um paralelogramo com base (b₁ + b₂) e altura h. A área do paralelogramo é base × altura = (b₁ + b₂) × h. Como isso contém duas cópias do trapézio original, a área de um trapézio é metade: (b₁ + b₂) × h / 2.
Uma prova alternativa: corte o trapézio com uma diagonal em dois triângulos. Um triângulo tem base b₁ e altura h (área = ½ × b₁ × h). O outro tem base b₂ e altura h (área = ½ × b₂ × h). Soma: ½b₁h + ½b₂h = ½(b₁ + b₂)h.
De qualquer forma, a fórmula é derivada de forma limpa.
Um trapézio tem lados paralelos de 8 cm e 12 cm, e a distância perpendicular entre eles é de 5 cm.
A = ½(8 + 12)(5) = ½(20)(5) = ½(100) = 50 cm².
Um trapézio tem área 60 cm², bases de 8 cm e 12 cm. Encontre sua altura.
60 = ½(8 + 12) × h
60 = ½ × 20 × h
60 = 10h
h = 6 cm
A fórmula reorganiza-se de forma limpa: h = 2A / (b₁ + b₂).
Um trapézio isósceles tem bases de 6 e 10, e lados laterais inclinados de comprimento 5. Encontre sua área.
Um trapézio isósceles tem dois lados laterais de comprimento igual. Por simetria, se você baixar perpendiculares das extremidades da base menor para a base maior, elas cortam dois triângulos retângulos congruentes em cada extremidade. Cada triângulo tem hipotenusa 5 (o lado lateral) e cateto horizontal (10 − 6) / 2 = 2.
Pelo Teorema de Pitágoras, a altura (cateto vertical) é h = √(5² − 2²) = √21 ≈ 4,58.
Área = ½(6 + 10)(√21) = 8√21 ≈ 36,66 cm².
Um trapézio tem vértices em (0, 0), (6, 0), (4, 3) e (1, 3). Encontre sua área.
As bases são os dois segmentos horizontais (já que ambos os pares de pontos têm valores y correspondentes). Base superior: de (1, 3) a (4, 3) tem comprimento 3. Base inferior: de (0, 0) a (6, 0) tem comprimento 6. Altura: distância vertical entre y = 0 e y = 3 é h = 3.
A = ½(3 + 6)(3) = ½(9)(3) = 13,5 unidades quadradas.
A fórmula de área funciona para os três tipos — apenas os comprimentos das bases e a altura importam.
No inglês americano, um trapézio (trapezoid) tem pelo menos um par de lados paralelos, e um trapézio (trapezium) é um quadrilátero SEM lados paralelos.
No inglês britânico (e na maior parte do mundo fora dos EUA), os significados são invertidos: um trapézio (trapezium) tem pelo menos um par de lados paralelos, e um trapézio (trapezoid) não tem nenhum.
Se você estiver lendo um livro-texto ou artigo, verifique qual convenção ele usa. A fórmula A = ½(b₁ + b₂)h se aplica à forma com lados paralelos — independentemente do nome que a fonte use para ela.
A maioria dos livros-texto americanos modernos usa a definição inclusiva: um trapézio tem pelo menos um par de lados paralelos. Sob essa definição, paralelogramos são casos especiais de trapézios (eles têm dois pares).
A definição exclusiva mais antiga exigia exatamente um par de lados paralelos, excluindo paralelogramos. A maioria da geometria contemporânea usa a definição inclusiva porque torna os teoremas e fórmulas mais gerais.
Para problemas de área de trapézio com todos os quatro lados dados, use a Calculadora de Trapézio. Para o caso geral de "área de qualquer quadrilátero" onde a figura não é necessariamente um trapézio, consulte Área de Qualquer Polígono. Para o paralelogramo relacionado (um trapézio com ambos os pares de lados paralelos), consulte as Calculadoras de Paralelogramo.
Como encontro a área de um trapézio dado apenas seus quatro lados? Você precisa da altura ou de informações suficientes para derivá-la. Com quatro lados dados, mas sem altura perpendicular, você pode usar os comprimentos das diagonais ou resolver via Teorema de Pitágoras se o trapézio for isósceles ou tiver um ângulo reto. Para trapézios arbitrários a partir de apenas quatro comprimentos de lados, a área não é determinada de forma única.
Qual a diferença entre um trapézio e um paralelogramo? Um paralelogramo tem ambos os pares de lados opostos paralelos. Um trapézio (americano) tem pelo menos um par paralelo. Sob a definição inclusiva, todo paralelogramo é um trapézio; sob a definição exclusiva, nenhum paralelogramo é um trapézio.
Qual é a área de um trapézio regular? "Trapézio regular" não é um termo padrão — a maioria dos trapézios não é regular no sentido poligonal (apenas polígonos regulares têm todos os lados E ângulos iguais, o que os tornaria paralelogramos ou piores, quadrados). Você pode ter ouvido "trapézio isósceles" — veja a seção acima.