圆周率 (π) 是数学中最著名的常数。它是圆的周长与直径的比值——在平坦（欧几里得）空间中，无论圆的大小如何，这个比值对每一个圆都是相同的。数值上，π ≈ 3.14159265358979323846...，其数字永无止境且永不重复。本指南将解释 π 的特殊之处、数学家为何称其为无理数和超越数、计算其数字的 4000 年历史，以及它在圆之外令人惊讶的出现之处。
取任意一个圆。测量其周长 C（绕圆一周的总距离）和直径 d（穿过圆心的距离）。进行除法运算：
π = C / d
用一枚硬币、一个餐盘或任何你能测量的圆形物体试试。每次计算出的比值都约为 3.14。无论圆变大还是变小，这个比值都不会改变——这种普遍性正是 π 成为宇宙基本常数的原因。
从这个单一的定义，立即可以推导出另外两个公式：
并且通过积分微积分或严谨的几何论证（阿基米德在公元前 250 年就做到了），圆的面积是：
A = πr²
无理数是指不能表示为分数 p/q（其中 p 和 q 是整数）的数。例如 √2、e 和 π。相反——有理数——其十进制表示要么是有限小数（如 0.25 = 1/4），要么是循环小数（如 0.333... = 1/3）。
π 是无理数。它的十进制展开既不是有限的，也永远不会陷入重复的模式。这一点最初由约翰·兰伯特在 1761 年证明。这个证明并不简单——它需要一个巧妙的连分数论证，并且是 18 世纪数学的一项重大成就。
因此，下次有人说“π 等于 22/7”——他们是错的。22/7 ≈ 3.142857...，并且接近 π（精确到约 0.04%），但 π 本身不能写成任何分数。
超越数是指不是任何具有整数系数的多项式方程的根的数。（作为对比：√2 是无理数但不是超越数——它是 x² − 2 = 0 的一个根。）
π 是超越数。这一点由费迪南德·冯·林德曼在 1882 年证明。这个证明有一个著名的历史意义：它解决了古希腊的“化圆为方”问题。该问题询问是否可以仅用圆规和直尺构造一个面积恰好等于给定圆的面积的正方形。林德曼的定理证明了这是不可能的——因为这样的构造将要求 π 是代数数（即多项式的根），但它不是。
这是一个存在了 2000 多年的谜题。通过一个关于 π 本质的证明，它被永远地解决了。
人类计算越来越精确的 π 近似值至少已有 4000 年历史：
π 的前 50 位数字是：3.14159265358979323846264338327950288419716939937510。其中没有已知的规律。它们在统计上呈现随机性，并且通过了设计出的每一项随机性测试。
π 出现在涉及圆、球体、圆柱体、圆锥体、椭圆体以及任何旋转对称性的每一个几何公式中。但它也出现在与圆毫无关系的地方，这让大多数学习数学的学生感到惊讶：
对于大多数实际应用，只有 π 的前几位小数才重要：
计算 100 万亿位数字作为基准和计算机科学练习很有趣，但没有任何工程问题需要超过大约 40 位数字。
一些数学家认为，我们应该将基本的圆常数定义为 τ (tau) = 2π 而不是 π。他们的理由是：τ 是单位圆（半径为 1）的周长，当你使用 τ 时，许多公式会简化。一整圈是 τ 弧度而不是 2π 弧度。圆的面积公式变为 ½τr² （这与物理学中的动能公式 ½mv² 相呼应）。
《Tau 宣言》（2010 年）和“Tau 日”（6 月 28 日，写作 6/28，因为 τ ≈ 6.28）是一个小型运动的一部分，旨在用 τ 取代 π 在教育中的应用。主流数学尚未改变。
经典助记法：数每个单词的字母数。
“How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.”
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9
这让你得到 15 位数字：3.141592653589797。最后一位技术上是 8（下一位是 9），所以最后的“quantum mechanics”给出了 7-9。对于任何实际用途来说，这已经足够接近了。
本站上每一个与圆相关的计算器都使用完整的双精度 π。 圆几何计算器 接受半径、直径、周长或面积中的任意一个作为输入，并使用 π 计算其他三个值，精度约为 15 位小数。 圆解析几何计算器 处理坐标平面上的圆方程。
为什么 π 会出现在不涉及圆的公式中？ 大多数“隐藏”的出现都可以追溯到在圆形或振荡域上的积分。钟形曲线的 π 来源于一个积分；量子力学的 π 来源于波的行为。