파이 (π)는 수학에서 가장 유명한 상수입니다. 이는 원의 둘레와 지름의 비율이며, 평평한 (유클리드) 공간에서 모든 원에 대해 크기에 관계없이 동일한 값을 가집니다. 수치적으로, π ≈ 3.14159265358979323846...이며 이 숫자들은 끝나지 않고 반복되지 않습니다. 이 가이드는 π를 특별하게 만드는 것, 수학자들이 이를 무리수 및 초월수라고 부르는 이유, 자릿수를 계산하기 위한 4000년의 역사, 그리고 원 외부에서 π가 나타나는 놀라운 장소들을 설명합니다.
임의의 원을 취하세요. 그 둘레 C (전체 둘레까지의 거리)와 지름 d (중심을 통과하는 거리를 가로지르는 거리)를 측정하세요. 다음을 나누세요:
π = C / d
동전, 저녁 접시 또는 측정할 수 있는 모든 둥근 물체로 이것을 시도해 보세요. 매번 비율은 약 3.14로 나옵니다. 원이 아무리 크거나 작더라도 비율은 변하지 않습니다 — 이러한 보편적 불변성이 π를 우주의 근본적인 상수로 만드는 것입니다.
이 단일 정의로부터 두 가지 공식이 즉시 따라 나옵니다:
그리고 적분학이나 주의 깊은 기하학적 논증 (아르키메데스는 기원전 250년에 이 작업을 했습니다)을 통해, 원의 넓이는 다음과 같습니다:
A = πr²
무리수는 p와 q가 정수인 분수 p/q로 표현할 수 없는 수입니다. 예로는 √2, e, 그리고 π가 있습니다. 그 반대 — 유리수 —는 소수 전개가 유한하거나 (0.25 = 1/4처럼) 반복됩니다 (0.333... = 1/3처럼).
π는 무리수입니다. 그 소수 전개는 끝나지 않고 반복 패턴에 빠지지 않습니다. 이것은 1761년 요한 람베르트에 의해 처음 증명되었습니다. 그 증명은 사소하지 않습니다 — 기발한 연분수 논증을 필요로 하며 18세기의 주요 수학적 성과였습니다.
그래서 누군가 "π는 22/7과 같다"고 말하면 — 그들은 틀렸습니다. 22/7 ≈ 3.142857...이고 π에 가깝지만 (약 0.04%의 정확도), π 자체는 어떤 분수로도 쓸 수 없습니다.
초월수는 정수 계수를 가진 어떤 다항식 방정식의 근도 아닌 수입니다. (비교로: √2는 무리수이지만 초월수는 아닙니다 — 그것은 x² − 2 = 0의 근입니다.)
π는 초월수입니다. 이것은 1882년 페르디난트 폰 린데만에 의해 증명되었습니다. 그 증명은 유명한 역사적 결과를 낳았습니다: 그것은 고대 그리스의 "원적방" 문제를 해결했습니다. 그 문제는 주어진 원과 정확히 같은 넓이를 가진 정方形을 컴퍼스와 자만을 사용하여 작도할 수 있느냐는 질문이었습니다. 린데만의 정리는 그것이 불가능하다는 것을 증명했습니다 — 왜냐하면 그러한 작도는 π가 대수적 (다항식의 근)이어야 하는데, 그것은 그렇지 않기 때문입니다.
이것은 2000년 이상 된 수수께끼였습니다. π의 본질에 대한 하나의 증명으로 영원히 해결되었습니다.
인류는 최소 4000년 동안 π의 더 나은 근사값을 계산해 왔습니다:
π의 첫 50자리는 다음과 같습니다: 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510. 여기에는 알려진 패턴이 없습니다. 그것들은 통계적으로 무작위로 보이며 고안된 모든 무작위성 테스트를 통과합니다.
π는 원, 구, 원뿔, 원통, 타원 및 모든 회전 대칭을 포함하는 모든 기하학 공식에 나타납니다. 하지만 대부분의 수학 학생들을 놀라게 하는, 원과 아무 관련이 없는 장소에도 나타납니다:
대부분의 실용적인 응용을 위해, π의 소수점 첫 몇 자리만 중요합니다:
100조 자릿수를 계산하는 것은 벤치마크이자 컴퓨터 과학 연습으로 흥미롭지만, 어떤 공학 문제도 약 40자리 이상을 필요로 하지 않습니다.
일부 수학자들은 기본 원 상수를 π 대신 τ (타우) = 2π로 정의했어야 한다고 주장합니다. 그들의 논거: τ는 단위 원 (반지름 1)의 둘레이며, τ를 사용하면 많은 공식이 단순화됩니다. 완전 회전은 2π 대신 τ 라디안입니다. 원의 넓이 공식은 ½τr²가 됩니다 (물리학의 운동 에너지 ½mv²를 반영).
"타우 선언문" (2010)과 "타우 데이" (6월 28일, τ ≈ 6.28이므로 6/28로 쓰임)는 교육에서 π를 τ로 대체하려는 작은 움직임的一部分입니다. 주류 수학은 아직 전환하지 않았습니다.
고전적인 기억법: 각 단어의 글자를 세어보세요.
"How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics."
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9
이것으로 15자리를 얻습니다: 3.141592653589797. 마지막 자릿수는 기술적으로 8이며 (다음은 9), 따라서 최종 "quantum mechanics"는 7-9를 줍니다. 어떤 실용적인 사용에도 충분히 가깝습니다.
이 사이트의 모든 원 관련 계산기는 전체 이중 정밀도 π를 사용합니다. 원 기하학 계산기는 반지름, 지름, 둘레 또는 넓이 중 하나를 입력하면 나머지 세 가지를 ~15자리 소수점 π를 사용하여 계산합니다. 원 해석 기하 계산기는 좌표 평면에서 원 방정식을 처리합니다.
왜 원과 관련 없는 공식에 π가 나타납니까? 대부분의 "숨겨진" 출현은 원형 또는 진동 영역에 대한 적분으로 돌아갑니다. 종형 곡선의 π는 적분에서 나오고; 양자역학의 π는 파동 동작에서 나옵니다