Area of a Triangle in Coordinate Geometry

Calcula el área a partir de las coordenadas de los 3 vértices — sin altura

Revisado por [email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator Última actualización May 14, 2026

Cuando conoces las coordenadas de los tres vértices de un triángulo, no necesitas calcular las longitudes de los lados ni la altura primero — existe una fórmula directa que da el área en un solo paso. Es el determinante de una matriz 3×3 que contiene las coordenadas, dividido por 2. La misma fórmula sirve como prueba de colinealidad: si el área resulta ser 0, los tres puntos están sobre una misma línea recta.

Las fórmulas

Nombre Fórmula Notas
Fórmula estándar A = ½ × |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)| Los tres vértices son (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃). Siempre toma el valor absoluto; la orientación determina el signo antes de |·|.
Forma de determinante A = ½ × |det([x₁ y₁ 1; x₂ y₂ 1; x₃ y₃ 1])| Idéntica a la fórmula estándar — expande el determinante 3×3 a lo largo de la tercera columna y obtienes la forma estándar.
Forma de la lazada (compacta) A = ½ × |x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)| La misma expresión reordenada. El nombre "lazada" proviene de la visualización del producto diagonal.
Vector / Producto cruz A = ½ × |⃗AB × ⃗AC| Para los vértices A, B, C: la mitad de la magnitud del producto cruz de dos vectores de los lados. Funciona también en 3D (da el área plana del triángulo).
Prueba de colinealidad A = 0 ⟺ 3 points are collinear Si la fórmula devuelve 0, los tres puntos están sobre una línea. Equivalente a que las pendientes entre pares sean iguales.
Área con signo (orientación) A_signed = ½ × [x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)] Sin el valor absoluto: positivo si los vértices se listan en sentido antihorario, negativo si en sentido horario. Útil en geometría computacional.
Caso especial equilátero A = (√3/4) × s² Cuando los tres lados son iguales (s). Verifica que la fórmula de coordenadas coincida calculando s² = (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)².

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Triángulo con vértices (1, 2), (4, 5), (6, 1)

  1. x₁(y₂−y₃) = 1 × (5 − 1) = 4
  2. x₂(y₃−y₁) = 4 × (1 − 2) = −4
  3. x₃(y₁−y₂) = 6 × (2 − 5) = −18
  4. Sum = 4 + (−4) + (−18) = −18
  5. A = ½ × |−18| = 9 unit²

Ejemplo 2: Verificación de colinealidad: ¿están (1, 1), (2, 3), (4, 7) sobre una línea?

  1. A = ½ × |1(3 − 7) + 2(7 − 1) + 4(1 − 3)|
  2. A = ½ × |−4 + 12 − 8| = ½ × |0| = 0
  3. Area = 0 → YES, the three points are collinear.

Ejemplo 3: Triángulo rectángulo con vértices (0, 0), (4, 0), (0, 3)

  1. A = ½ × |0(0 − 3) + 4(3 − 0) + 0(0 − 0)|
  2. A = ½ × |0 + 12 + 0| = 6 unit²
  3. Verify with base × height / 2 = (4 × 3) / 2 = 6 ✓

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