Calculer l'aire à partir des coordonnées des 3 sommets — sans hauteur
Vérifié par [email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator Dernière mise à jour May 14, 2026
Lorsque vous connaissez les coordonnées des trois sommets d'un triangle, vous n'avez pas besoin de calculer d'abord les longueurs des côtés ou la hauteur — il existe une formule directe qui donne l'aire en une seule étape. C'est le déterminant d'une matrice 3×3 contenant les coordonnées, divisé par 2. La même formule sert également de test de colinéarité : si l'aire est nulle, les trois points sont alignés sur une même droite.
| Nom | Formule | Notes |
|---|---|---|
| Formule standard | A = ½ × |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)| |
Les trois sommets sont (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃). Prenez toujours la valeur absolue ; l'orientation détermine le signe devant |·|. |
| Forme déterminant | A = ½ × |det([x₁ y₁ 1; x₂ y₂ 1; x₃ y₃ 1])| |
Identique à la formule standard — développez le déterminant 3×3 le long de la troisième colonne et vous obtenez la forme standard. |
| Forme du lacet (compacte) | A = ½ × |x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)| |
Même expression réarrangée. Le nom « lacet » vient de la visualisation des produits diagonaux. |
| Vecteur / Produit vectoriel | A = ½ × |⃗AB × ⃗AC| |
Pour les sommets A, B, C : la moitié de la norme du produit vectoriel de deux vecteurs côtés. Fonctionne aussi en 3D (donne l'aire plane du triangle). |
| Test de colinéarité | A = 0 ⟺ 3 points are collinear |
Si la formule renvoie 0, les trois points sont alignés. Équivalent à des pentes égales entre les paires. |
| Aire signée (orientation) | A_signed = ½ × [x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)] |
Sans la valeur absolue : positive si les sommets sont listés dans le sens antihoraire, négative dans le sens horaire. Utile en géométrie computationnelle. |
| Cas particulier équilatéral | A = (√3/4) × s² |
Lorsque les trois côtés sont égaux (s). Vérifiez que la formule des coordonnées correspond en calculant s² = (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)². |
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