由三个顶点坐标直接求面积——无需求高
由 [email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator 审核 最后更新于 May 14, 2026
当你知道三角形三个顶点的坐标时，无需先计算边长或高——有一个直接公式可以一步求出面积。它是包含坐标的3×3矩阵的行列式除以2。同一个公式也可用作共线性检验：如果面积结果为0，则三点共线。
| 名称 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 标准公式 | A = ½ × |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)| |
三个顶点为 (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃)。始终取绝对值；方向决定 |·| 前的符号。 |
| 行列式形式 | A = ½ × |det([x₁ y₁ 1; x₂ y₂ 1; x₃ y₃ 1])| |
与标准公式相同——将3×3行列式按第三列展开即得标准形式。 |
| 鞋带公式（紧凑形式） | A = ½ × |x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)| |
同一表达式的重排。“鞋带”之名源于对角线乘积的可视化。 |
| 向量/叉积 | A = ½ × |⃗AB × ⃗AC| |
对于顶点A、B、C：两个边向量叉积模长的一半。也适用于3D（给出三角形的平面面积）。 |
| 共线性检验 | A = 0 ⟺ 3 points are collinear |
如果公式结果为0，则三点共线。等价于每对点之间的斜率相等。 |
| 有向面积（方向） | A_signed = ½ × [x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)] |
不带绝对值：顶点按逆时针顺序排列时为正，顺时针时为负。在计算几何中有用。 |
| 等边三角形特例 | A = (√3/4) × s² |
当三边相等（s）时。通过计算 s² = (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² 验证坐标公式的一致性。 |