3 つの頂点座標から面積を求める — 高さ不要
[email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator が監修 最終更新 May 14, 2026
三角形の3つの頂点の座標がわかっている場合、辺の長さや高さを先に計算する必要はありません。面積を1ステップで求める直接的な公式があります。それは、座標を含む3×3行列の行列式を2で割ったものです。同じ公式は共線性テストとしても機能します。面積が0になれば、3点は一直線上にあります。
| 名前 | 公式 | 備考 |
|---|---|---|
| 標準公式 | A = ½ × |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)| |
3つの頂点は (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) です。常に絶対値を取ります。向きによって |·| の前の符号が決まります。 |
| 行列式形式 | A = ½ × |det([x₁ y₁ 1; x₂ y₂ 1; x₃ y₃ 1])| |
標準公式と同じです。3×3行列式を第3列で展開すると標準形が得られます。 |
| 靴ひも形式（コンパクト） | A = ½ × |x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)| |
同じ式を並べ替えたものです。「靴ひも」という名前は対角積の視覚化に由来します。 |
| ベクトル／外積 | A = ½ × |⃗AB × ⃗AC| |
頂点A, B, Cについて：2つの辺ベクトルの外積の大きさの半分。3Dでも機能します（三角形の平面面積を与えます）。 |
| 共線性テスト | A = 0 ⟺ 3 points are collinear |
公式が0を返す場合、3点は一直線上にあります。これは、各ペア間の傾きが等しいことと同値です。 |
| 符号付き面積（向き） | A_signed = ½ × [x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)] |
絶対値を取らない場合：頂点が反時計回りに並んでいれば正、時計回りなら負。計算幾何学で有用です。 |
| 正三角形の特別な場合 | A = (√3/4) × s² |
3辺がすべて等しい場合（s）。座標公式が一致することを確認するには、s² = (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² を計算します。 |