Area of a Triangle in Coordinate Geometry

Berechne die Flache aus den 3 Eckpunktkoordinaten — keine Hohe notig

Geprüft von [email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator Zuletzt aktualisiert am May 14, 2026

Wenn Sie die Koordinaten der drei Eckpunkte eines Dreiecks kennen, müssen Sie nicht zuerst Seitenlängen oder Höhe berechnen – es gibt eine direkte Formel, die die Fläche in einem Schritt liefert. Es ist die Determinante einer 3×3-Matrix mit den Koordinaten, geteilt durch 2. Dieselbe Formel dient auch als Kollinearitätstest: Wenn die Fläche 0 ergibt, liegen die drei Punkte auf einer einzigen Geraden.

Die Formeln

Name Formel Hinweise
Standardformel A = ½ × |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)| Die drei Eckpunkte sind (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃). Nehmen Sie immer den Absolutbetrag; die Orientierung bestimmt das Vorzeichen vor |·|.
Determinantenform A = ½ × |det([x₁ y₁ 1; x₂ y₂ 1; x₃ y₃ 1])| Identisch zur Standardformel – entwickeln Sie die 3×3-Determinante nach der dritten Spalte und Sie erhalten die Standardform.
Schnürsenkelform (kompakt) A = ½ × |x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)| Gleicher Ausdruck umgestellt. Der Name „Schnürsenkel“ kommt von der Visualisierung der Diagonalprodukte.
Vektor / Kreuzprodukt A = ½ × |⃗AB × ⃗AC| Für Eckpunkte A, B, C: die Hälfte des Betrags des Kreuzprodukts zweier Kantenvektoren. Funktioniert auch im 3D-Raum (ergibt die ebene Fläche des Dreiecks).
Kollinearitätstest A = 0 ⟺ 3 points are collinear Wenn die Formel 0 ergibt, liegen die drei Punkte auf einer Geraden. Äquivalent dazu, dass die Steigungen zwischen Paaren gleich sind.
Vorzeichenbehaftete Fläche (Orientierung) A_signed = ½ × [x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)] Ohne den Absolutbetrag: positiv, wenn die Eckpunkte gegen den Uhrzeigersinn aufgelistet sind, negativ im Uhrzeigersinn. Nützlich in der Computergeometrie.
Spezialfall gleichseitiges Dreieck A = (√3/4) × s² Wenn alle drei Seiten gleich sind (s). Überprüfen Sie die Übereinstimmung der Koordinatenformel durch Berechnung von s² = (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)².

Gelöste Beispiele

Beispiel 1: Dreieck mit Eckpunkten (1, 2), (4, 5), (6, 1)

  1. x₁(y₂−y₃) = 1 × (5 − 1) = 4
  2. x₂(y₃−y₁) = 4 × (1 − 2) = −4
  3. x₃(y₁−y₂) = 6 × (2 − 5) = −18
  4. Sum = 4 + (−4) + (−18) = −18
  5. A = ½ × |−18| = 9 unit²

Beispiel 2: Kollinearitätsprüfung: Liegen (1, 1), (2, 3), (4, 7) auf einer Geraden?

  1. A = ½ × |1(3 − 7) + 2(7 − 1) + 4(1 − 3)|
  2. A = ½ × |−4 + 12 − 8| = ½ × |0| = 0
  3. Area = 0 → YES, the three points are collinear.

Beispiel 3: Rechtwinkliges Dreieck mit Eckpunkten (0, 0), (4, 0), (0, 3)

  1. A = ½ × |0(0 − 3) + 4(3 − 0) + 0(0 − 0)|
  2. A = ½ × |0 + 12 + 0| = 6 unit²
  3. Verify with base × height / 2 = (4 × 3) / 2 = 6 ✓

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