Analytische-Geometrie-Kreis-Rechner

Der analytische Geometrie-Rechner für Kreise arbeitet mit der algebraischen Gleichung eines Kreises in der kartesischen Ebene — nicht nur mit seiner Fläche und Umfang, sondern auch damit, wo er liegt, was sein Mittelpunkt und Radius sind und wie er in verschiedenen äquivalenten Formen ausgedrückt werden kann. Dieses Tutorial behandelt die Normalform (Mittelpunkt-Radius-Form), die allgemeine Form, die Umrechnung zwischen ihnen durch quadratische Ergänzung und wie man die Gleichung aus gegebenen Punkten wiederherstellt.

Die Normalform eines Kreises

Ein Kreis mit Mittelpunkt (h, k) und Radius r hat die Gleichung:

(x − h)² + (y − k)² = r²

Dies wird als Normalform oder Mittelpunkt-Radius-Form bezeichnet. Die Intuition: Ein Punkt (x, y) liegt genau dann auf dem Kreis, wenn sein Abstand vom Mittelpunkt (h, k) gleich r ist. Nach der Abstandsformel beträgt dieser Abstand √((x − h)² + (y − k)²). Setzt man diesen Abstand gleich r und quadriert beide Seiten, erhält man die oben stehende Normalform.

Ablese der Gleichung:

• Die Vorzeichen kehren sich um: (x − h) bedeutet, dass der Mittelpunkt die x-Koordinate +h hat, nicht −h. Also hat (x − 3)² + (y − 5)² = 16 den Mittelpunkt (3, 5), nicht (−3, −5).
• Die rechte Seite ist r², nicht r. Der Radius von (x − 3)² + (y − 5)² = 16 ist √16 = 4.

Beispiel — Aufstellen einer Gleichung in Normalform

Gegeben: Mittelpunkt (2, −3), Radius 5. Gleichung: (x − 2)² + (y − (−3))² = 5², was zu (x − 2)² + (y + 3)² = 25 vereinfacht wird.

Die allgemeine Form eines Kreises

Wenn man die Normalform (x − h)² + (y − k)² = r² ausmultipliziert und umstellt:

x² − 2hx + h² + y² − 2ky + k² = r²

x² + y² + (−2h)x + (−2k)y + (h² + k² − r²) = 0

Setzt man D = −2h, E = −2k, F = h² + k² − r², lautet die Gleichung:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Dies ist die allgemeine Form. Gegeben D, E, F kann man den Mittelpunkt und den Radius wiederherstellen:

• h = −D/2
• k = −E/2
• r = √((D/2)² + (E/2)² − F) = √(D² + E² − 4F)/2

Die Radiusformel erfordert, dass der Wert unter der Wurzel positiv ist: D² + E² > 4F. Ist er genau null, ist der „Kreis“ ein einzelner Punkt (entartet). Ist er negativ, hat die Gleichung keine reelle Lösung (ein „imaginärer Kreis“).

Umrechnung Normalform ↔ Allgemeine Form

Normalform → Allgemein: Quadrate ausmultiplizieren und gleichartige Terme zusammenfassen.

Beispiel: (x − 1)² + (y + 2)² = 9 → x² − 2x + 1 + y² + 4y + 4 = 9 → x² + y² − 2x + 4y − 4 = 0. Also D = −2, E = 4, F = −4.

Allgemein → Normalform: Quadratische Ergänzung für x und y separat durchführen.

Beispiel: x² + y² + 6x − 8y + 9 = 0.

• x- und y-Terme gruppieren: (x² + 6x) + (y² − 8y) = −9
• Quadratische Ergänzung: Nimm die Hälfte des Koeffizienten, quadriere ihn, addiere auf beiden Seiten. Die Hälfte von 6 ist 3, 3² = 9. Die Hälfte von −8 ist −4, (−4)² = 16.
• (x² + 6x + 9) + (y² − 8y + 16) = −9 + 9 + 16
• (x + 3)² + (y − 4)² = 16

Also hat dieser Kreis den Mittelpunkt (−3, 4) und den Radius √16 = 4.

Finden der Gleichung aus gegebenen Punkten

Fall 1 — Mittelpunkt + ein Punkt auf dem Kreis. Gegeben Mittelpunkt (h, k) und beliebiger Punkt (x₀, y₀) auf dem Kreis, ist der Radius der Abstand vom Mittelpunkt zu diesem Punkt: r = √((x₀ − h)² + (y₀ − k)²). In die Normalform einsetzen.

Fall 2 — Drei Punkte auf dem Kreis. Beliebige drei nicht-kollineare Punkte bestimmen einen eindeutigen Kreis. Setzt man jeden Punkt in die allgemeine Form ein, erhält man drei Gleichungen in D, E, F:

x₁² + y₁² + Dx₁ + Ey₁ + F = 0
x₂² + y₂² + Dx₂ + Ey₂ + F = 0
x₃² + y₃² + Dx₃ + Ey₃ + F = 0

Drei lineare Gleichungen mit drei Unbekannten. Lösen durch Elimination, Substitution oder Cramersche Regel. Die KI-Löse-Taste dieses Rechners kann dies für Sie durchgehen — beschreiben Sie die drei Punkte, und die KI stellt das System auf und löst es Schritt für Schritt.

Fall 3 — Zwei Endpunkte eines Durchmessers. Der Mittelpunkt ist der Mittelpunkt der beiden Endpunkte (verwenden Sie die Mittelpunktsformel), und der Radius ist die Hälfte des Abstands zwischen ihnen.

Was schiefgehen kann

• Drei kollineare Punkte definieren keinen Kreis — sie definieren eine Gerade. Das Gleichungssystem ist dann widersprüchlich oder singulär.
• Drei identische Punkte sind nicht drei Punkte — sie definieren unendlich viele Kreise, die durch diesen Punkt verlaufen.
• D² + E² < 4F in der allgemeinen Form: Es existiert kein reeller Kreis. Die Gleichung hat zwar die algebraische Form eines Kreises, aber es gibt keine reellen (x, y), die sie erfüllen.

Geometrische Bedeutung der Gleichung

Die Normalform hat sofort eine geometrische Bedeutung: Jeder Kreis ist die Menge der Punkte in festem Abstand von einem festen Mittelpunkt. Die allgemeine Form ist dieselbe Punktmenge, anders geschrieben — algebraisch bequem für einige Berechnungen (insbesondere bei Systemen, die Kreise und Geraden mischen), geometrisch jedoch undurchsichtig.

Zwei Fakten, die man sich einprägen sollte:

• Die Koeffizienten von x² und y² müssen gleich (und ungleich null) sein, damit die Gleichung einen Kreis beschreibt. Wenn sie sich unterscheiden, handelt es sich möglicherweise um eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel.
• In einer Kreisgleichung gibt es keinen xy-Mischterm. Ein xy-Term kippt die Kegelschnittkurve — es könnte sich um eine rotierte Ellipse handeln.

Häufige Fehler

• Vorzeichenumkehr beim Mittelpunkt. (x − 3)² bedeutet h = +3, nicht −3. Zum Ablesen der Normalform muss das Vorzeichen des Terms neben x und y umgekehrt werden.
• Vergessen, die rechte Seite zu wurzeln. Wenn die Gleichung = 49 lautet, ist der Radius 7, nicht 49.
• Quadratische Ergänzung nur halb durchführen. Man muss (a) die Hälfte des Koeffizienten nehmen, (b) quadrieren, (c) auf beide Seiten addieren. Das Überspringen von Schritt (c) zerstört die Gleichheit.
• Die allgemeine Form wie eine Normalform behandeln. x² + y² + 4x − 6y = 12 ist NICHT (x + 4)² + (y − 6)² = 12. Man muss zuerst die quadratische Ergänzung durchführen, um den Mittelpunkt zu extrahieren.