기하 평균 계산기

기하 평균은 두 양의 수 a와 b에 대해 √(a × b) — 즉, 두 수의 곱의 제곱근입니다. 이는 산술 평균(합 / 개수)과 대비되는 두 값의 '곱셈적 평균'입니다. 기하 평균은 세 가지 중요한 곳에서 나타납니다: 곱셈적 성장 문제(복리, 척도 계수), 직각삼각형 높이 정리(빗변에 내린 높이는 빗변을 분할한 두 선분의 기하 평균임), 그리고 3항 등비수열의 중간 항으로서입니다. 이 튜토리얼에서는 이 세 가지를 모두 다룹니다.

정의

두 양의 수 a와 b에 대해:

기하 평균 = √(a × b)

참고: a와 b는 둘 다 양수여야 합니다(또는 둘 다 음수일 수도 있음 — 하지만 √(음수 × 음수)의 결과는 양수의 경우와 동일함). 부호가 섞인 수들의 기하 평균은 실수 범위에서 정의되지 않습니다.

산술 평균 vs 기하 평균

두 양의 수에 대해, 기하 평균은 항상 산술 평균보다 작거나 같습니다(AM-GM 부등식):

√(a × b) ≤ (a + b) / 2, 등호는 a = b일 때만 성립합니다.

이는 수학의 기초적인 부등식 중 하나입니다. 등호는 두 수가 같을 때만 성립합니다(예: 둘 다 = 5인 경우: GM = √25 = 5, AM = (5+5)/2 = 5).

풀이 예제 1 — 기본 GM

4와 9의 기하 평균: GM = √(4 × 9) = √36 = 6.

산술 평균과 비교: AM = (4 + 9) / 2 = 6.5. 예상대로 GM < AM입니다.

4, 6, 9는 공비가 6/4 = 1.5이고 9/6 = 1.5인 3항 등비수열을 형성함을 알 수 있습니다. 첫 번째 항과 마지막 항의 기하 평균이 중간 항이 됩니다.

직각삼각형 높이 정리

기하 평균이 기하학에서 빛을 발하는 곳이 바로 여기입니다. 꼭짓점 C에 직각을 가진 직각삼각형에서, C에서 빗변으로 수선을 내립니다. 이 수선은 빗변을 두 부분으로 나눕니다 — 한 변에 인접한 부분을 p, 다른 변에 인접한 부분을 q라고 합시다.

그러면 다음 세 가지 기하 평균 관계가 동시에 성립합니다:

1. 높이: h = √(p × q). 빗변에 내린 높이는 빗변을 분할한 두 선분의 기하 평균입니다.
2. 변 1 (길이 a): a = √(p × c), 여기서 c = p + q는 전체 빗변의 길이입니다. 이 변은 자신에 인접한 선분과 전체 빗변의 기하 평균입니다.
3. 변 2 (길이 b): b = √(q × c). 다른 변에 대해서도 위와 동일합니다.

이 세 가지 관계는 직각삼각형 높이 정리로, 때로는 '기하 평균 정리' 또는 '유클리드 정리'(『원론』 제II권 명제 14)라고도 불립니다.

풀이 예제 2 — 높이 정리

꼭짓점 C에 직각을 가진 직각삼각형 ABC입니다. C에서 빗변 AB로 내린 수선이 AB와 점 D에서 만나며, AB를 AD = 4와 DB = 9로 나눕니다.

높이 CD = √(4 × 9) = √36 = 6.

변 AC = √(4 × 13) = √52 ≈ 7.21. (여기서 c = 4 + 9 = 13입니다.)

변 BC = √(9 × 13) = √117 ≈ 10.82.

피타고라스 정리로 검증: AC² + BC² = 52 + 117 = 169 = 13² = c². ✓

왜 높이 정리가 성립하는가?

직각에서 내린 수선은 세 개의 닮은 삼각형을 만듭니다: 원래의 직각삼각형과 그 내부에 생성된 두 개의 작은 직각삼각형입니다. 세 삼각형 모두 AA 닮음 조건(모두 직각을 공유하고, 원래 삼각형의 또 다른 각을 하나씩 공유함)에 의해 서로 닮음입니다.

닮은 삼각형의 대응변은 비례합니다. 높이 정리는 이러한 비례 관계를 기하 평균 형태로 표현한 것입니다.

풀이 예제 3 — 등비수열의 중간 항

8과 50 사이에 어떤 수를 넣으면 3항 등비수열이 될까요?

중간 항은 기하 평균입니다: GM = √(8 × 50) = √400 = 20.

검증: 8, 20, 50은 비율이 20/8 = 2.5이고 50/20 = 2.5입니다. ✓ 공비가 2.5인 등비수열입니다.

n개의 수에 대한 기하 평균

두 수의 경우로 일반화됩니다. n개의 양의 수 x₁, x₂, ..., xₙ에 대해:

GM = (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n) — 곱의 n제곱근입니다.

3개의 수의 경우: GM = ∛(x₁ × x₂ × x₃). 4개의 수의 경우: GM = ⁴√(x₁ × x₂ × x₃ × x₄). 이와 같이 계속됩니다.

기하 평균의 단위는 값의 단위와 동일합니다(단위² 아님). 이는 높이 정리에서 유도되는 기하 평균과는 다릅니다.

실생활 응용

• 연평균 복합 성장률(CAGR). 연도별 성장률이 다를 때, '연평균 성장률'은 산술 평균이 아닌 기하 평균입니다. 한 해에는 20%, 다음 해에는 10% 성장한 주식의 평균 성장률은 (20 + 10)/2 = 15%가 아니라 √(1.2 × 1.1) ≈ 14.89%입니다.
• 사진 촬영. 곱셈적 관계에 있는 두 f-스톱의 '평균'은 기하 평균을 사용합니다. f/2.0과 f/8.0의 기하 평균은 √(2 × 8) = f/4.0입니다.
• 종횡비. 표준 사진 및 화면의 종횡비는 종종 일반적인 비율들의 기하 평균입니다(예: ISO 216 용지 크기는 일관된 길이 대 너비 비율로 √2를 사용함).
• 공학 — 하중 시험. 내구성 시험 사이클은 피로 등급을 특성화하기 위해 기하 평균을 사용합니다.

GM vs AM 사용 시기

흔한 실수

• GM이 필요한 곳에 AM 사용. 곱셈적 양(이자율, 성장 계수 등)에 대해서는 산술 평균이 잘못된 '평균'을 줍니다. GM이 정확합니다.
• 음수의 기하 평균 계산. GM = √(a × b)는 a × b > 0이어야 합니다. 부호가 섞이면 결과가 허수가 되어 실제 문맥에서 의미가 없습니다.
• 높이 정리의 변형 혼동. 세 가지 다른 기하 평균(높이, 변 1, 변 2)이 적용됩니다. 원하는 값에 맞는 올바른 공식을 사용해야 합니다: h는 두 선분을 모두 사용하며, 변은 하나의 선분과 전체 빗변을 사용합니다.
• GM ≤ AM 잊기. 이는 유용한 검증 방법입니다. 만약 계산한 GM이 AM보다 크다면, 무언가 잘못 계산한 것입니다.