等比数列计算器

等比数列是指数列中的每一项都是前一项乘以一个固定的非零数（称为公比 (r)）而得到的。例如：2, 6, 18, 54, ... 的公比为 3。等比数列是代数中两种基础数列类型之一（另一种是等差数列，它使用加法而非乘法）。本教程涵盖第 n 项公式、部分和、无穷级数和以及如何识别和处理这些数列。

第 n 项公式

如果等比数列的首项为 a，公比为 r，则第 n 项为：

aₙ = a × rⁿ⁻¹

为什么指数是 n − 1 而不是 n：按照惯例，第一项的索引为 n = 1，而不是 0。因此 a₁ = a × r⁰ = a × 1 = a。a₂ = a × r¹ = a × r。a₃ = a × r²。指数总是比项数少 1。

示例：在 2, 6, 18, 54, ... 中，a = 2，r = 3。第 7 项为 a₇ = 2 × 3⁶ = 2 × 729 = 1458。

识别等比数列

给定一组数字，将相邻两项相除。如果每个商都相同，则该数列为等比数列，该商即为公比 r。

• 2, 6, 18, 54, ...：6/2 = 3，18/6 = 3，54/18 = 3 ✓ 是公比为 3 的等比数列。
• 1, 4, 9, 16, ...：4/1 = 4，9/4 = 2.25 ✗ 不是等比数列。（这是完全平方数——差值是等差的，但比值不是。）
• 100, 50, 25, 12.5, ...：50/100 = 0.5，25/50 = 0.5，12.5/25 = 0.5 ✓ 是公比为 0.5 的等比数列。

前 n 项之和（部分和）

求等比数列前 n 项之和有一个封闭形式的公式——你不需要逐项相加：

Sₙ = a × (1 − rⁿ) / (1 − r)，当 r ≠ 1 时有效。

如果 r = 1，每一项都等于 a，因此 Sₙ = n × a（无需公式）。

公式的来源：将和写为 S = a + ar + ar² + ... + arⁿ⁻¹。两边乘以 r：rS = ar + ar² + ... + arⁿ。相减：S − rS = a − arⁿ，即 S(1 − r) = a(1 − rⁿ)，从而得出 S = a(1 − rⁿ)/(1 − r)。

示例：5, 10, 20, 40, ... 前 6 项之和：a = 5，r = 2，n = 6。S₆ = 5(1 − 2⁶)/(1 − 2) = 5(1 − 64)/(−1) = 5(−63)/(−1) = 315。

无穷级数和——收敛条件

如果 |r| < 1（公比的绝对值严格小于 1），项会趋近于零，无穷级数和收敛：

S∞ = a / (1 − r)

如果 |r| ≥ 1，项不会缩小，级数和发散（无界增长，或在未稳定的情况下振荡）。

示例：无穷级数 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ... 中，a = 1，r = ½，|r| < 1 ✓。S∞ = 1/(1 − ½) = 1/(½) = 2。这是芝诺在其“阿基里斯与乌龟”悖论中使用的几何级数：每一步覆盖剩余距离的一半，因此无限多个半步之和为一个有限距离。

另一个示例：1 + 2 + 4 + 8 + ... 中，r = 2，|r| = 2 > 1。级数和发散至无穷大——没有有限值。

识别和处理负公比

如果 r 为负数，项的符号交替出现：a, −a|r|, a|r|², −a|r|³, ...

示例：3, −6, 12, −24, 48, ... 中，a = 3，r = −2。

第 n 项公式和求和公式在 r 为负数时同样适用。即使 r 为负数，只要 |r| < 1，无穷级数和仍收敛——例如，1 + (−½) + ¼ + (−⅛) + ... = 1/(1 − (−½)) = 1/(3/2) = 2/3。

几何平均数——乘法中间值

两个正数 a 和 b 的几何平均数为：

GM = √(a × b)

这是首项为 a、末项为 b 的三项等比数列的中间项。例如，4 和 9 的几何平均数是 √36 = 6——且数列 4, 6, 9 的公比始终为 1.5（6/4 = 9/6 = 1.5）。

在平均比率、回报率、增长因子和其他乘法量时，几何平均数优于算术平均数。“翻倍”和“三倍”的算术平均数为 2.5 倍，但几何平均数 √(2 × 3) ≈ 2.45 倍才是正确复利的结果。

完整例题

示例 1 — 求第 8 项： 数列 3, 6, 12, 24, ... 中，a = 3，r = 2。a₈ = 3 × 2⁷ = 3 × 128 = 384。

示例 2 — 已知两项求 r： a₁ = 2 且 a₅ = 162。使用公式 a₅ = a₁ × r⁴，得 r⁴ = 162/2 = 81。因此 r = ⁴√81 = 3（取正根；严格来说，若项符号交替，r 也可能为 −3，但其绝对值是唯一确定的）。

示例 3 — 发散的级数和： 级数 100 + 200 + 400 + ... + (第 n 项) 中，a = 100，r = 2。由于 |r| = 2 > 1，无穷级数和发散。对于任意有限的 n，使用 Sₙ = 100(1 − 2ⁿ)/(1 − 2) = 100(2ⁿ − 1)。

实际应用

• 复利。 经过 n 个计息期后的余额为 B = P × (1 + i)ⁿ —— 这是一个首项为 P、公比为 (1 + i) 的等比数列。无穷期数的级数和发散（资金无限增长），因此此处只有部分和有实际意义。
• 人口增长。 如 P(t) = P₀ × eʳᵗ 的指数增长模型，当 t 以离散步长测量时，变为等比数列。
• 放射性衰变。 半衰期衰变是一个公比为 1/2 的等比数列。
• 计算机科学。 数组大小加倍、二叉树高度以及网络协议中的几何退避均为等比数列。
• 音乐。 十二平均律中音符的频率构成一个等比数列，公比为 ¹²√2 ≈ 1.0595（每半音）。

常见错误

• 在指数中使用 n 而非 n − 1。 第一项是 a × r⁰ = a，而不是 a × r¹。指数总是比项的索引少 1。
• 在 |r| ≥ 1 时应用无穷级数和公式。 级数发散。不存在有限的“无穷和”——部分和无界增长。
• 混淆等比数列与等差数列。 等差数列每步加上一个固定数；等比数列每步乘以一个固定数。它们是不同的数列类型，具有不同的公式。
• 计算负数的几何平均数。 GM = √(a × b) 仅在 a 和 b 均非负（或均为负数——取其乘积的主根）时有意义。几何平均数不定义负结果。
• 混淆部分和公式与无穷和公式。 对于有限的 n，Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r)。对于收敛的无穷情况，S∞ = a/(1 − r)。两者不可互换。