Heron's Formula — Triangle Area from 3 Sides (with Examples)

当已知三角形的三条边但不知道任何角或高时，海伦公式可直接给出面积。先计算半周长s，再代入一个平方根。它适用于任何三角形——不等边、等腰、等边、锐角、直角或钝角。

公式

名称	公式	说明
半周长	`s = (a + b + c) / 2`	周长的一半。先计算，再代入面积公式。
海伦公式	`A = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]`	a、b、c是三条边长。经典形式（亚历山大港的海伦，约公元60年）。
代数形式	`A = ¼ × √[(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)]`	等价展开——无需半周长步骤。
数值稳定形式	`A = ¼ × √[(a+(b+c))(c−(a−b))(c+(a−b))(a+(b−c))]`	对于非常扁平的三角形，标准形式会损失精度（先将边排序为a ≥ b ≥ c）。
三角形不等式检查	`a + b > c, a + c > b, b + c > a`	三个不等式必须都成立；否则三角形不存在且根号内为负。
等边三角形特例	`A = (√3 / 4) × a²`	当a = b = c时。由海伦公式推导：s = 3a/2 → A = √[(3a/2)(a/2)³] = √3·a²/4。

什么是海伦公式？

海伦公式通过三角形的三条边长 a、b、c 计算面积，无需任何角度或高。首先计算半周长 s = (a+b+c)/2，然后 A = √[s(s−a)(s−b)(s−c)]。

何时使用海伦公式？

当已知三边（SSS情况）但不知道高或角度时使用。如果还知道一个角度，½·a·b·sin(C) 公式更快。如果已知底和高，直接用 A = ½·b·h。

海伦公式适用于直角三角形吗？

是的——它适用于任何三角形。对于 3-4-5 直角三角形：s = 6，A = √[6·3·2·1] = √36 = 6，与 ½·3·4 = 6 一致。

如果根号下出现负数怎么办？

这意味着三边无法构成一个真实三角形。检查三角不等式：每条边必须小于另外两边之和（a + b > c 等）。

谁发明了海伦公式？

亚历山大的海伦在公元60年左右于其著作《度量论》中证明了该公式。阿基米德可能更早已知晓；现代证明使用坐标法或余弦定理。