Inkreis-Rechner

Der Inkreis-Rechner bestimmt den Radius des größten Kreises, der in ein Dreieck passt und alle drei Seiten berührt. Dieser Kreis wird als Inkreis bezeichnet, und sein Radius ist der Innenradius, bezeichnet mit r. Sein Mittelpunkt, der Innenmittelpunkt, ist einer der vier klassischen »Dreiecksschwerpunkte« (neben dem Schwerpunkt, dem Umkreismittelpunkt und dem Höhenschnittpunkt). Dieses Tutorial erklärt, woher die Formel r = Fläche / s stammt, führt ein durchgerechnetes Beispiel durch und stellt den Inkreis dem Umkreis gegenüber.

Was der Inkreis ist

Der Inkreis ist der eindeutige Kreis, der:

• dem Dreieck einbeschrieben ist (vollständig innerhalb seiner Begrenzung liegt)
• alle drei Seiten berührt (jede Seite genau an einem Punkt tangiert)
• der größte dieser Art ist (kein größerer Kreis kann passen, während er alle drei Seiten berührt)

Der Mittelpunkt des Inkreises, der Innenmittelpunkt, ist der Punkt, an dem sich die drei Winkelhalbierenden des Dreiecks schneiden. Jedes Dreieck hat genau einen Inkreis – und sein Mittelpunkt hat von jeder der drei Seiten den gleichen Abstand. Dieser gleiche Abstand ist der Innenradius r.

Die Formel r = Fläche / s

Der Innenradius wird aus der Fläche und dem halben Umfang des Dreiecks berechnet:

r = Fläche / s, wobei s = (a + b + c) / 2

Dies ist eine der übersichtlichsten Formeln der ebenen Geometrie. Hier ist der geometrische Grund, warum sie funktioniert.

Verbinden Sie den Innenmittelpunkt I mit jedem der drei Eckpunkte. Dies teilt das Dreieck in drei kleinere Dreiecke auf, von denen jedes eine Seite des Originals als Basis und den Innenmittelpunkt als Spitze hat. Die Höhe jedes kleinen Dreiecks (der senkrechte Abstand von I zur Basis) ist genau der Innenradius r – da I per Konstruktion von allen drei Seiten den gleichen Abstand hat.

Die Fläche jedes kleinen Dreiecks beträgt (1/2) × Basis × r:

• Kleines Dreieck auf Seite a: (1/2)(a)(r)
• Kleines Dreieck auf Seite b: (1/2)(b)(r)
• Kleines Dreieck auf Seite c: (1/2)(c)(r)

Summe der drei Flächen = Fläche des ursprünglichen Dreiecks:

Fläche = (1/2)(a + b + c)(r) = (s)(r)

Nach r aufgelöst: r = Fläche / s. q.e.d.

Wie der Rechner die Fläche berechnet

Der Rechner verwendet Herons Formel, um die Fläche des Dreiecks aus den drei Seitenlängen zu bestimmen:

Fläche = √(s(s − a)(s − b)(s − c))

wobei s derselbe halbe Umfang wie oben ist. Herons Formel benötigt nur die drei Seiten – keine Winkel sind erforderlich.

Durchgerechnetes Beispiel

Eingaben: a = 3, b = 4, c = 5 (ein 3-4-5-Rechtwinkeldreieck).

1. Halber Umfang: s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6.
2. Fläche (Heron): √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6. (Die Fläche des 3-4-5-Dreiecks beträgt 6, da es ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 und 4 ist → Fläche = (1/2)(3)(4) = 6.)
3. Innenradius: r = Fläche / s = 6 / 6 = 1.

Das 3-4-5-Dreieck hat einen Innenradius von genau 1. Dies ist ein »schönes« Beispiel, weil alle Zahlen sauber herauskommen – eine nützliche Plausibilitätsprüfung, dass die Formel und der Rechner übereinstimmen.

Inkreis vs. Umkreis

Der Inkreis (dieser Rechner) befindet sich innerhalb des Dreiecks und berührt alle drei Seiten. Er ist der größte Kreis, der hineinpasst.

Der Umkreis (oder »Zirkumkreis«) verläuft durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks. Sein Mittelpunkt ist der Umkreismittelpunkt (wo sich die Mittelsenkrechten der Seiten treffen). Er ist immer größer als der Inkreis, und bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.

Für das 3-4-5-Dreieck ist der Umkreisradius genau die Hälfte der Hypotenuse: R = 5/2 = 2,5. Also ist r = 1 und R = 2,5 – der Umkreis hat das 2,5-fache des Radius des Inkreises. Die allgemeine Beziehung R ≥ 2r gilt für jedes Dreieck (die Eulersche Ungleichung), wobei Gleichheit nur bei gleichseitigen Dreiecken vorliegt.

Weitere bekannte Formeln für den Innenradius

• Vom Innenradius zur Inkreisfläche: A_Inkreis = πr².
• Innenradius eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seite s: r = s/(2√3) = s√3/6.
• Innenradius eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a, b und der Hypotenuse c: r = (a + b − c)/2. (Probieren Sie es am 3-4-5-Dreieck aus: r = (3 + 4 − 5)/2 = 1. Bestätigt unser Beispiel.)

Anwendungen in der Praxis

• Größtes einbeschriebenes Objekt. Ausschneiden des größtmöglichen kreisförmigen Stücks aus einem dreieckigen Blech-, Holz- oder Papierbogen – der Inkreis gibt den maximalen Durchmesser an.
• Dreiecksschwerpunkte im Design. Der Innenmittelpunkt wird in CAD-Programmen beim Abrunden (Fasen) der Innenseite einer dreieckigen Ecke verwendet – der Radius der Fase darf den Innenradius nicht überschreiten, ohne eine andere Kante zu schneiden.
• Olympiade-Probleme im Dreieck. Ein großer Teil der Wettbewerbsgeometrie-Probleme beinhaltet Innenradius, Umkreisradius oder ihre Beziehungen (Eulers Formel d² = R² − 2Rr, wobei d der Abstand zwischen Innenmittelpunkt und Umkreismittelpunkt ist).

Häufige Fehler

• Verwendung des vollen Umfangs statt des halben Umfangs. Die Formel lautet r = Fläche / s, wobei s = (a+b+c)/2 die HALBE des Umfangs ist. Die Verwendung des vollen Umfangs halbiert Ihren Innenradius.
• Verwechslung von Inkreis und Umkreis. Der Umkreis verläuft durch die Eckpunkte (außen berührt innen); der Inkreis ist tangent zu den Seiten (innen berührt außen). Leicht zu vertauschen.
• Vergessen der Dreiecksungleichung. Wenn die Eingaben kein gültiges Dreieck bilden (eine Seite ≥ Summe der anderen beiden), gibt Herons Formel 0 oder NaN zurück. Der Innenradius ist dann nicht definiert.
• Vermischen von Einheiten. Alle drei Seiten müssen in derselben Einheit sein. Der Innenradius ergibt sich in derselben Einheit; die Inkreisfläche ist in der quadrierten Einheit.