내접원 계산기

내접원 계산기는 삼각형 내부에 들어갈 수 있는 가장 큰 원의 반지름을 구하며, 이 원은 세 변과 모두 접합니다. 이 원을 내접원(incircle)이라고 하며, 그 반지름을 내접반지름(inradius)이라 하고 기호 r로 나타냅니다. 내접원의 중심인 내심(incenter)은 네 가지 고전적인 '삼각형의 중심'(나머지는 무게중심, 외심, 수심) 중 하나입니다. 이 튜토리얼에서는 공식 r = Area / s가 어떻게 유도되는지 설명하고, 풀이 예제를 통해 이해를 돕며, 내접원과 외접원을 비교합니다.

내접원이란?

내접원은 다음 조건을 모두 만족하는 유일한 원입니다:

• 삼각형 내부에 내접함 (경계선 내부에 완전히 포함됨)
• 세 변과 모두 접함 (각 변과 정확히 한 점에서 접촉)
• 이러한 조건을 만족하는 원 중 가장 큼 (세 변과 모두 접하면서 더 큰 원은 들어갈 수 없음)

내접원의 중심인 내심은 삼각형의 세 각의 이등분선이 만나는 점입니다. 모든 삼각형에는 정확히 하나의 내접원이 있으며, 그 중심은 세 변으로부터 등거리에 있습니다. 이 일정한 거리가 바로 내접반지름 r입니다.

공식 r = Area / s

내접반지름은 삼각형의 넓이와 둘레의 절반(semi-perimeter)을 사용하여 계산됩니다:

r = Area / s, 여기서 s = (a + b + c) / 2

이는 평면기하학에서 가장 깔끔한 공식 중 하나입니다. 이것이 성립하는 기하학적 이유는 다음과 같습니다.

내심 I를 삼각형의 세 꼭짓점 각각에 연결합니다. 이렇게 하면 원래 삼각형이 세 개의 작은 삼각형으로 나뉘는데, 각 작은 삼각형의 밑변은 원래 삼각형의 한 변이고 꼭짓점은 내심 I입니다. 각 작은 삼각형의 높이(밑변에서 I까지의 수직 거리)는 정확히 내접반지름 r입니다. 이는 구성상 I가 세 변으로부터 등거리이기 때문입니다.

각 작은 삼각형의 넓이는 (1/2) × 밑변 × r입니다:

• 변 a 위의 작은 삼각형: (1/2)(a)(r)
• 변 b 위의 작은 삼각형: (1/2)(b)(r)
• 변 c 위의 작은 삼각형: (1/2)(c)(r)

세 작은 삼각형의 넓이의 합 = 원래 삼각형의 넓이:

Area = (1/2)(a + b + c)(r) = (s)(r)

r에 대해 풀면: r = Area / s. 증명 끝.

계산기가 넓이를 구하는 방법

계산기는 세 변의 길이를 사용하여 삼각형의 넓이를 구하기 위해 헤론의 공식을 사용합니다:

Area = √(s(s − a)(s − b)(s − c))

여기서 s는 위에서 언급한 것과 동일한 둘레의 절반입니다. 헤론의 공식은 세 변만 필요로 하며 각도는 필요하지 않습니다.

풀이 예제

입력값: a = 3, b = 4, c = 5 (3-4-5 직각삼각형).

1. 둘레의 절반: s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6.
2. 넓이 (헤론 공식): √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6. (3-4-5 삼각형의 넓이는 6입니다. 이는 다리가 3과 4인 직각삼각형이므로 → 넓이 = (1/2)(3)(4) = 6.)
3. 내접반지름: r = Area / s = 6 / 6 = 1.

3-4-5 삼각형의 내접반지름은 정확히 1입니다. 모든 숫자가 깔끔하게 나오기 때문에 이 예제는 '좋은' 예시이며, 공식과 계산기가 일치한다는 것을 확인하는 유용한 검증(check)이 됩니다.

내접원과 외접원 비교

내접원(이 계산기)은 삼각형 내부에 위치하며 세 변과 모두 접합니다. 이는 내부에 들어갈 수 있는 가장 큰 원입니다.

외접원(또는 'circumcircle')은 삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지납니다. 그 중심은 외심(변의 수직이등분선이 만나는 점)입니다. 외접원은 항상 내접원보다 크며, 둔각삼각형의 경우 외심이 삼각형 바깥에 위치합니다.

3-4-5 삼각형의 경우, 외접반지름은 정확히 빗변의 절반입니다: R = 5/2 = 2.5. 따라서 r = 1이고 R = 2.5입니다. 즉, 외접원의 반지름은 내접원 반지름의 2.5배입니다. 모든 삼각형에 대해 일반 부등식 R ≥ 2r이 성립합니다(오일러 부등식). 등호는 정삼각형일 때만 성립합니다.

알아두면 유용한 다른 내접반지름 공식

• 내접반지름에서 내접원 넓이: A_incircle = πr².
• 정삼각형의 내접반지름 (한 변의 길이 s): r = s/(2√3) = s√3/6.
• 직각삼각형의 내접반지름 (다리 a, b, 빗변 c): r = (a + b − c)/2. (3-4-5 삼각형에 적용해 보세요: r = (3 + 4 − 5)/2 = 1. 우리의 예제와 일치합니다.)

실제 응용 분야

• 최대 내접 물체. 금속, 나무 또는 종이로 된 삼각형 시트에서 가능한 최대 크기의 원형 조각을 자를 때, 내접원이 최대 지름을 결정합니다.
• 설계에서의 삼각형 중심. CAD에서 삼각형 코너의 안쪽을 필렛(fillet, 모서리 둥글게 처리)할 때 내심이 사용됩니다. 필렛의 반지름은 다른 변과 교차하지 않도록 내접반지름을 초과할 수 없습니다.
• 수학 올림피아드 문제. 경쟁 기하학 문제의 상당 부분이 내접반지름, 외접반지름 또는 이들의 관계(오일러 공식 d² = R² − 2Rr, 여기서 d는 내심과 외심 사이의 거리)를 다룹니다.

흔한 실수

• 전체 둘레를 사용해서 둘레의 절반을 대신함. 공식은 r = Area / s이며, 여기서 s = (a+b+c)/2는 전체 둘레의 절반입니다. 전체 둘레를 사용하면 내접반지름이 절반이 됩니다.
• 내접원과 외접원 혼동. 외접원은 꼭짓점을 지나며(바깥이 안을 만남), 내접원은 변과 접합니다(안이 바깥을 만남). 쉽게 헷갈릴 수 있습니다.
• 삼각형 부등식 잊어버림. 입력값이 유효한 삼각형을 형성하지 않는 경우(한 변의 길이 ≥ 나머지 두 변의 길이 합), 헤론의 공식은 0 또는 NaN을 반환합니다. 이때 내접반지름은 정의되지 않습니다.
• 단위 혼용. 세 변은 모두 같은 단위를 사용해야 합니다. 내접반지름은 해당 단위로 출력되며, 내접원 넓이는 제곱 단위입니다.