등변 사다리꼴 계산기

이등변 사다리꼴은 한 쌍의 평행한 변을 가진 사각형인 사다리꼴 중, 평행하지 않은 두 변(밑변과 평행하지 않은 옆변, 즉 'leg')의 길이가 같은 사다리꼴입니다. 이 하나의 추가적인 대칭성(옆변의 길이 동일)은 여러 가지 아름다운 성질을 풀어냅니다: 밑각의 쌍별 동일, 대각선의 길이 동일, 그리고 옆변과 밑변의 차이를 이용해 높이를 구성할 수 있다는 점 등입니다. 이 튜토리얼에서는 이등변 사다리꼴의 네 가지 정의적 및 유도된 성질, 세 가지 풀이 예제(넓이, 높이, 대각선), 그리고 문제에서 이를 어떻게 식별하는지 다룹니다.

네 가지 핵심 성질

평행한 밑변 AB(더 긴 쪽, b₁)와 CD(더 짧은 쪽, b₂), 그리고 같은 옆변 AD = BC = leg를 가진 이등변 사다리꼴 ABCD:

1. 두 옆변의 길이는 같다. AD = BC. 이것이 정의 조건이다.
2. 밑각은 쌍별로 같다. ∠A = ∠B (더 긴 밑변 위의 두 각), 그리고 ∠C = ∠D (더 짧은 밑변 위의 두 각).
3. 두 대각선의 길이는 같다. AC = BD. 이는 증명에서 매우 유용하게 쓰이는 잘 알려진 성질이다.
4. 대칭축을 가진다. 어느 밑변이든 그 수직이등분선이 대칭축이며, 도형은 이에 대해 대칭이다.

역으로: (1), (2), (3), (4) 중 ANY ONE(어느 하나)라도 성립하면 나머지도 모두 성립한다. 각각은 이등변 사다리꼴의 정의와 동치이다.

높이 공식

두 밑변의 길이와 옆변의 길이를 알면 높이를 계산할 수 있다:

h = √(leg² − ((b₁ − b₂) / 2)²)

이 공식의 유래: 더 짧은 밑변 CD의 끝점 C와 D에서 더 긴 밑변 AB로 수선을 내린다. 이등변 사다리꼴의 대칭성에 의해, 이 수선들이 AB 위에 닿는 점은 더 긴 밑변을 세 부분으로 나눈다: 양쪽에 길이가 (b₁ − b₂)/2인 두 개의 동일한 '돌출부'(overhang), 그리고 짧은 밑변 바로 아래에 위치한 길이가 b₂인 중간 부분.

각 돌출부는 옆변을 빗변으로 하는 직각삼각형을 형성한다. 피타고라스 정리에 의해:

leg² = ((b₁ − b₂)/2)² + h², 따라서 h = √(leg² − ((b₁−b₂)/2)²).

풀이 예제 1 — 넓이

b₁ = 12, b₂ = 8, leg = 5인 이등변 사다리꼴.

h = √(5² − ((12−8)/2)²) = √(25 − 4) = √21 ≈ 4.58.

넓이 = ½ × (b₁ + b₂) × h = ½ × 20 × √21 = 10√21 ≈ 45.83.

둘레 = b₁ + b₂ + 2 × leg = 12 + 8 + 10 = 30.

대각선 공식

이등변 사다리꼴의 경우:

대각선 = √(leg² + b₁ × b₂)

두 대각선은 모두 이 공식으로 주어지는 동일한 길이를 가진다. 유도 과정: 대각선 중 하나(예: AC)를 선택한다. 이는 더 긴 밑변 위의 꼭짓점 A와 더 짧은 밑변 위의 꼭짓점 C를 연결한다. AC를 그리고 C에서 AB로 수선을 내렸을 때 형성되는 직각삼각형을 사용하면, 한 변은 A에서 수선의 발까지의 수평 거리(돌출부와 b₂를 합친 값, 총 (b₁+b₂)/2)이고 다른 한 변은 높이 h인 직각삼각형을 얻는다. 빗변인 대각선의 길이는 √(((b₁+b₂)/2)² + h²)이다. 이를 전개하고 h² = leg² − ((b₁−b₂)/2)²를 대입하면 위의 단순화된 공식을 얻는다.

풀이 예제 2 — 변으로부터의 대각선 길이

같은 사다리꼴(b₁ = 12, b₂ = 8, leg = 5)에 대해:

대각선 = √(5² + 12 × 8) = √(25 + 96) = √121 = 11.

두 대각선 모두 11이다. 다른 공식으로 검증: 대각선² = ((b₁+b₂)/2)² + h² = 10² + 21 = 121. ✓

왜 밑각이 쌍별로 같은가?

대칭성 때문이다. 대칭축(더 긴 밑변의 수직이등분선)을 그린다. 이 축은 사다리꼴이 이에 대해 대칭이므로 더 짧은 밑변의 중점도 지나간다. 두 옆변은 이 축을 기준으로 서로의 반사 이미지이므로, 각각의 밑변과 이루는 각이 동일하다.

엄밀히 말해: ∠A와 ∠B는 축에 대해 서로의 반사이므로 ∠A = ∠B이다. ∠C와 ∠D도 마찬가지.

두 쌍(∠A = ∠B)과 (∠C = ∠D)은 일반적으로 서로 같지 않다 — 평행한 밑변에 대한 동측내각의 성질에 따라 보각(합이 180°) 관계이다.

"원주的四角形" 성질 — 이등변 사다리꼴은 원에 내접한다

이등변 사다리꼴은 원에 내접할 수 있다 — 즉, 네 꼭짓점이 모두 하나의 원 위에 놓인다. (이는 "원주的四角形(cyclic quadrilateral)"의 동일한 성질이다.) 원주 성질은 대각선의 길이 동일과 밑각의 쌍별 동일에서 비롯된다.

다른 사다리꼴들은 이등변 사다리꼴이 아닌 한 원에 내접할 수 없다. 이등변 사다리꼴과 원주的四角形 사이의 연결은 올림피아드 스타일의 기하학 문제에서 자주 나타나는 심오한 결과이다.

풀이 예제 3 — 주어진 높이와 밑변으로부터 옆변 길이 구하기

b₁ = 14, b₂ = 6, 높이 h = 6인 이등변 사다리꼴. 옆변의 길이를 구하시오.

높이 공식을 변형: leg² = h² + ((b₁ − b₂)/2)² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52.
leg = √52 = 2√13 ≈ 7.21.

넓이 = ½ × 20 × 6 = 60. 둘레 = 14 + 6 + 2 × 7.21 ≈ 34.42.

특수 경우

• b₁ = b₂일 때: "사다리꼴"은 평행사변량이 된다(또한 이등변이고 밑각이 직각이면 구체적으로 직사각질이 된다). 엄밀히 말하면 "사다리꼴은 정확히 한 쌍의 평행한 변만 가진다"는 엄격한 정의에는 제외된다.
• b₂ = 0일 때: 사다리꼴은 이등변 삼각형으로 붕괴된다. 두 옆변은 삼각형의 두 같은 변이 되어 정점(apex, b₂ 변이 사라지는 곳)에서 만난다.
• 옆변이 밑변에 수직일 때: 이등변 사다리꼴은 직사각질이 된다. 두 옆변은 모두 수직이고, 두 밑변은 모두 수평이다.

문제에서 이등변 사다리꼴 식별하기

다음 중 ANY ONE(어느 하나)라도 성립하면 이등변 사다리꼴임을 결론지을 수 있다:

• 옆변의 길이가 같다.
• 밑각이 쌍별로 같다.
• 대각선의 길이가 같다.
• 사다리꼴이 원주的四角形이다(원에 내접할 수 있다).
• 대칭축을 가진다.

시험 문제는 종종 이 중 하나를 주어지고 나머지를 유도하도록 요구한다.

흔한 실수

• 기울어진 옆변을 높이로 사용하는 것. 높이는 밑변 사이의 수직 거리이지, 옆변의 길이가 아니다. h = √(leg² − ((b₁−b₂)/2)²)를 사용하라.
• 네 각이 모두 같다고 가정하는 것. 오직 밑각의 쌍만 같다(∠A = ∠B 및 ∠C = ∠D). 마주 보는 각은 같지 않다(대신 보각 관계이다).
• 이등변 사다리꼴과 일반 사다리꼴을 혼동하는 것. 일반 사다리꼴은 독립적인 옆변 길이와 각을 가진다. "대각선 = √(leg² + b₁ × b₂)" 공식은 오직 이등변 경우에만 적용된다.
• 두 대각선이 모두 같다는 것을 잊는 것. 일부 학생은 한 대각선만 계산하고 다른 대각선도 같다는 사실을 놓치곤 한다 — 빠른 성질 확인이 필요하다.