Gleichschenkliges-Dreieck-Satz-Rechner

Der Satz vom gleichschenkligen Dreieck (auch Basiswinkelsatz genannt) ist einer der ältesten Sätze der ebenen Geometrie — er erscheint als Proposition 5 im ersten Buch von Euklids Elementen (um 300 v. Chr.). Er besagt: Sind zwei Seiten eines Dreiecks gleich lang, so sind auch die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel gleich. Symbolisch:

Wenn AB = AC, dann gilt ∠B = ∠C.

Dieses Tutorial behandelt den Satz, seine Umkehrung, den berühmten historischen Beweis der "Pons Asinorum" sowie Anwendungen in der Algebra und beim Beweisen.

Definition von "gleichschenklig"

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit mindestens zwei gleichen Seiten. Die beiden gleichen Seiten werden als Schenkel bezeichnet und treffen sich im Scheitelwinkel. Die dritte Seite (oft ungleich) ist die Basis, und die beiden Winkel an ihren Endpunkten sind die Basiswinkel.

Einige Lehrbücher definieren "gleichschenklig" als genau zwei gleiche Seiten (und schließen damit gleichseitige Dreiecke aus). Andere verwenden "mindestens zwei" (und schließen damit gleichseitige Dreiecke als Spezialfall ein). Die inklusive Definition ist moderner und praktischer — jeder Satz über gleichschenklige Dreiecke gilt auch für gleichseitige.

Die beiden Sätze zusammen

Der Satz und seine Umkehrung bilden gemeinsam ein starkes "genau dann, wenn":

• Hauptsatz: Wenn zwei Seiten gleich sind, sind die gegenüberliegenden Winkel gleich.
• Umkehrsatz: Wenn zwei Winkel gleich sind, sind die gegenüberliegenden Seiten gleich.

Man kann also die Gleichschenkligkeit an BEIDEN Bedingungen erkennen: Man sieht zwei gleiche Seiten ODER man sieht zwei gleiche Winkel.

Die "Pons Asinorum" — Euklids berühmter Beweis

Der Beweis des Satzes vom gleichschenkligen Dreieck in Euklids Elementen ist historisch als "Pons Asinorum" ("Eselbrücke") bekannt — Schüler, die diese Brücke überqueren konnten, galten als bereit für höhere Geometrie; diejenigen, die es nicht konnten, waren "Esel".

Der Beweis: Gegeben sei △ABC mit AB = AC. Zu zeigen ist ∠B = ∠C.

1. Konstruiere die Winkelhalbierende von A (nennen wir sie den Strahl AD mit D auf BC).
2. AD = AD (Reflexivität)
3. ∠BAD = ∠CAD (Definition der Winkelhalbierenden)
4. AB = AC (gegeben)
5. △ABD ≅ △ACD nach SAS (Seite-Winkel-Seite)
6. ∠B = ∠C (entsprechende Teile kongruenter Dreiecke — CPCTC)

Moderne Lehrbücher verwenden typischerweise genau diesen 6-Schritte-Beweis. Es gibt alternative Beweise (unter Verwendung des Mittelpunkts, des Lotfußpunkts usw.), aber der Ansatz über die Winkelhalbierende ist der übersichtlichste.

Gerechnetes Beispiel 1 — Basiswinkel aus dem Scheitelwinkel finden

Ein gleichschenkliges Dreieck hat den Scheitelwinkel ∠A = 40°. Gesucht sind die Basiswinkel.

Nach dem Satz sind die beiden Basiswinkel gleich. Sei jeder θ.

40° + θ + θ = 180° (Winkelsumme im Dreieck)
2θ = 140° → θ = 70°.

Also gilt ∠B = ∠C = 70°.

Gerechnetes Beispiel 2 — Scheitelwinkel aus den Basiswinkeln finden

Ein gleichschenkliges Dreieck hat jeweils 50° große Basiswinkel. Gesucht ist der Scheitelwinkel.

Scheitelwinkel = 180° − 2(50°) = 80°.

Gerechnetes Beispiel 3 — Anwendung des Umkehrsatzes

In △ABC gilt ∠B = ∠C = 35°. Zu beweisen ist AB = AC.

Nach dem Umkehrsatz des Satzes vom gleichschenkligen Dreieck: Gleiche Basiswinkel ⇒ gleiche gegenüberliegende Schenkel. Also gilt AB = AC. q.e.d.

Die Höhe vom Scheitel

Die Höhe vom Scheitelwinkel zur Basis eines gleichschenkligen Dreiecks hat drei besondere Eigenschaften (alle liegen auf derselben Geraden):

• Sie halbiert den Scheitelwinkel (teilt ihn in zwei gleiche Hälften).
• Sie halbiert die Basis (landet im Mittelpunkt von BC).
• Sie steht senkrecht auf der Basis.

Deshalb hat ein gleichschenkliges Dreieck eine vertikale "Symmetrieachse" durch den Scheitelwinkel. Die Höhe ist zugleich die Seitenhalbierende und die Winkelhalbierende — sie fallen alle zusammen. Dies ist einzigartig für gleichschenklige (und gleichseitige) Dreiecke; bei ungleichseitigen Dreiecken sind diese drei Linien unterschiedlich.

Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks

Wenn die Schenkellänge L und die Basenlänge b beträgt, ist die Höhe vom Scheitel zur Basis:

h = √(L² − (b/2)²)

(nach dem Satz des Pythagoras angewendet auf eines der beiden durch die Höhe entstandenen kongruenten rechtwinkligen Dreiecke).

Fläche = ½ × b × h = (b/2) × √(L² − (b/2)²).

Beispiel: L = 5, b = 6. h = √(25 − 9) = 4. Fläche = 3 × 4 = 12.

Der gleichseitige Fall

Ein gleichseitiges Dreieck ist der Spezialfall, bei dem alle drei Seiten gleich lang sind. Durch Anwendung des gleichschenkligen Satzes auf jedes Paar gleicher Seiten sind alle drei Winkel gleich. Nach der Winkelsumme von 180° beträgt jeder Winkel 60°.

Ein gleichseitiges Dreieck hat also 3 gleiche Seiten UND 3 gleiche Winkel UND 3 Winkel zu je 60°. Die drei Eigenschaften implizieren einander.

Erkennen von Gleichschenkligkeit in Aufgaben

Jede EINZIGE dieser Bedingungen reicht aus, um auf Gleichschenkligkeit zu schließen:

• Zwei Seiten sind explizit gleich.
• Zwei Winkel sind explizit gleich.
• Das Dreieck besitzt eine Symmetrieachse.
• Eine Höhe von einem Scheitel halbiert auch die gegenüberliegende Seite.
• Eine Winkelhalbierende von einem Scheitel ist zugleich die Mittelsenkrechte der gegenüberliegenden Seite.

Häufige Fehler

• Verwechslung von gleichschenklig und gleichseitig. Gleichschenklig = mindestens zwei Seiten gleich (oder genau zwei, je nach Definition). Gleichseitig = alle drei Seiten gleich. Gleichseitig ist ein Spezialfall des inklusiven gleichschenkligen Dreiecks.
• Anwendung des Satzes auf die falschen Winkel. Der Satz besagt, dass die WINKEL GEGENÜBER den gleichen Seiten gleich sind. Der Scheitelwinkel (zwischen den gleichen Seiten) ist NICHT notwendigerweise gleich irgendetwas anderem.
• Vergessen, dass der Umkehrsatz ebenfalls bewiesen werden muss. "Zwei Winkel gleich ⇒ zwei Seiten gleich" erfordert einen eigenen Beweis (oder den Verweis auf den Umkehrsatz). Er ist nicht automatisch identisch mit dem Hauptsatz.
• Die Höhenformel wie bei jedem Dreieck behandeln. Die Eigenschaft "Höhe vom Scheitel halbiert die Basis" ist einzigartig für gleichschenklige Dreiecke. Bei ungleichseitigen Dreiecken trifft die Höhe an einem anderen Punkt als dem Mittelpunkt auf die Basis.