平行四辺形の合同計算機

2つの平行四辺形は、合同であるとは、それらが同一の大きさと形状を持つことを意味します。つまり、対応する辺が等しく、対応する角が等しく、拡大縮小がない状態です。平行四辺形は、隣り合う2辺とその間の角によって完全に決定されます（他の2辺と角は平行四辺形の対称性から導かれるため）。したがって、合同であることを証明するには、わずか3つの条件を確認すればよく、一般の四辺形に必要な6つの等式と比較して非常に簡素化できます。このチュートリアルでは、SAS形式の平行四辺形の合同判定法、平行四辺形の対角線が常に2つの合同な三角形に分割するという関連事実、および辺と対角線を結びつける平行四辺形の定理について解説します。

なぜ3つの要素で十分なのか

平行四辺形には4辺と4角がありますが、それらは強く制約されています：

• 対辺は等しい：AB = CD, BC = AD。
• 対角は等しい：∠A = ∠C, ∠B = ∠D。
• 隣接する角は補角である：∠A + ∠B = 180°。

隣り合う2辺（例えばABとBC）とその間の角（∠B）が与えられれば、他のすべての辺と角が一意に定まります：

• AD = BC （対辺は等しい）
• CD = AB （対辺は等しい）
• ∠D = ∠B （対角は等しい）
• ∠A = ∠C = 180° − ∠B （隣接角は補角）

つまり、3つの入力値によって4辺＋4角が決定されます。2つの平行四辺形がこの3つの入力値で一致すれば、それらは合同です。

平行四辺形の合同判定法

平行四辺形ABCDとEFGHが合同であるための必要十分条件は以下の通りです：

AB = EF, BC = FG, および ∠B = ∠F

（あるいは同様に、任意の一組の隣り合う辺とその間の角が一致すること。）これは「平行四辺形におけるSAS」と呼ばれ、三角形の合同条件であるSAS（Side-Angle-Side）公理を直接反映したものです。

具体例 — 2つの平行四辺形の合同証明

平行四辺形1：AB = 8, BC = 5, ∠B = 110°。
平行四辺形2：EF = 8, FG = 5, ∠F = 110°。

両方とも隣り合う辺と間の角が一致しているため、合同です。

他の部分も計算して確認します（これらも一致する必要があります）：

• 他の辺：AD = 5, CD = 8 （両方とも）→ EH = 5, GH = 8 と一致。✓
• 他の角：∠A = ∠C = 180° − 110° = 70° （両方とも）→ ∠E = ∠G = 70° と一致。✓
• 対角線：平行四辺形の定理より、d₁² + d₂² = 2(8² + 5²) = 2(89) = 178。両方の平行四辺形はこの条件を満たし、具体的な値は部分三角形に対する余弦定理から導かれます。

平行四辺形の対角線は常に2つの合同な三角形を作る

任意の平行四辺形ABCDにおいて、対角線ACを引くと、△ABCと△CDAという2つの三角形が作られます。これらは常に合同です。以下にその証明を示します：

これは基礎的な結果であり、これにより平行四辺形の対辺が等しくなる理由（対角線による分割三角形の合同からの対応する辺と角の等しさ、CPCTC）が説明できます。

平行四辺形の定理 — 辺と対角線

辺をa, b、対角線をd₁, d₂とする任意の平行四辺形において：

d₁² + d₂² = 2(a² + b²)

対角線の2乗の和は、辺の2乗の和の2倍に等しいです。これは平行四辺形における三平方の定理の類似物です。

証明：平行四辺形を、ある頂点を原点とする座標平面上に配置します。対角線は対向する頂点を結び、その長さは距離公式から得られます。間の角の余弦を用いて2乗を展開し、恒等式 cos²θ + sin²θ = 1 を用いることで簡略化できます。

この定理は、一方の対角線と両方の辺が既知の場合にもう一方の対角線を求める際にも使用できます。

対角線は互いに二等分する

任意の平行四辺形において、2本の対角線は1点で交わり、その点は両方の対角線の中点となります（各対角線が二等分される）。これは必要十分条件です：四辺形の対角線が互いに二等分されるのは、その四辺形が平行四辺形であるとき、かつそのときに限ります。

証明のアウトライン：2本の対角線によって形成される4つの小さな三角形は、対頂角と等しい対辺を用いたSAS（辺-角-辺）により合同な三角形のペアになります。これらの合同なペアが中点の性質を強制します。

対角線が等しくなるのはいつか？

長方形の場合のみです。長方形は4つの角がすべて90°である平行四辺形です。その2本の対角線の長さは等しくなります：d₁ = d₂ = √(a² + b²) — これは各対角線に三平方の定理を適用した直接的な結果です。

正方形（長方形＋すべての辺が等しい）と正方形以外の長方形はどちらも対角線が等しいです。ひし形（平行四辺形＋すべての辺が等しいが正方形ではない）は対角線が等しくないです。ひし形の対角線は垂直ですが、長さは等しくありません。

現実世界での応用

• 家具と建築。 平行四辺形形状の支柱や補強材は、構造的安定性のために対角線の二等分性質を利用します。
• ベクトル数学。 ベクトルの加法（「平行四辺形の法則」）は、2つのベクトルを平行四辺形の隣り合う辺として視覚的に加算し、その和を対角線として表します。大きさに関する平行四辺形の定理はこれに直接従います。
• コンピュータグラフィックス。 テクスチャマッピングとアフィン変換は平行四辺形を保ちます — 任意のアフィン変換の後でも、四辺形は平行四辺形のままであります。

一般的な誤解

• 平行四辺形の合同判定にSSS（辺-辺-辺）を使おうとすること。 三角形におけるSSSは3辺を使用します。平行四辺形においては、「2辺とその間の角」（SAS形式の判定）が正しいチェック方法です。4辺すべてが一致するだけでは不十分です — ひし形と正方形はどちらも4辺が等しいですが、合同ではありません（角が異なるため）。
• 対角線が見かけ上等しいので、等しいと仮定すること。 対角線が等しいのは長方形（および正方形）のみです。ひし形は等しくありません。
• 対角線が常に二等分されることを忘れること。 一部の学生は長方形の対角線のみが二等分されると考えがちです。間違いです — すべての平行四辺形の対角線は互いに二等分します。
• 「合同な平行四辺形」を「同じ面積」として扱うこと。 面積が等しいことは必要ですが、十分条件ではありません。4×6の長方形と2×12の長方形は同じ面積（24）を持ちますが、合同ではありません（辺の長さが異なるため）。