평행사변형 합동 계산기

두 평행사변형은 크기와 모양이 동일할 때, 즉 대응하는 변과 각이 일치하고 확대/축소가 없을 때 합동입니다. 평행사변형은 두 인접한 변과 그 끼인각에 의해 완전히 결정됩니다(나머지 두 변과 각은 평행사변형의 대칭성에 따라 따라오기 때문이므로), 따라서 합동을 증명하는 것은 단 3가지를 확인하는 것으로 충분합니다. 이는 일반 사각형에 필요한 6개의 등식보다 훨씬 간단합니다. 이 튜토리얼에서는 SAS(측-각-측) 방식의 평행사변형 합동 판정법, 평행사변형의 대각선이 항상 두 개의 합동 삼각형으로 나눈다는 관련 사실, 그리고 변과 대각선을 연결하는 평행사변형의 정리(parallelogram law)를 다룹니다.

왜 3개의 요소만으로 충분한가

평행사변형은 4개의 변과 4개의 각을 가지고 있지만, 이들은 매우 강한 제약 조건을 가집니다:

• 대변은 길이가 같다: AB = CD, BC = AD.
• 대각은 크기가 같다: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
• 인접한 각은 보각이다: ∠A + ∠B = 180°.

두 인접한 변(예: AB와 BC)과 그 끼인각(∠B)이 주어지면, 나머지 모든 변과 각이 강제적으로 결정됩니다:

• AD = BC (대변은 길이가 같다)
• CD = AB (대변은 길이가 같다)
• ∠D = ∠B (대각은 크기가 같다)
• ∠A = ∠C = 180° − ∠B (인접한 각은 보각이다)

즉, 3개의 입력값이 4개의 변과 4개의 각을 결정합니다. 두 평행사변형이 이 3개의 입력값에서 일치한다면, 그들은 합동입니다.

평행사변형 합동 판정법

두 평행사변형 ABCD와 EFGH는 다음 조건이 성립할 필요충분조건으로 합동입니다:

AB = EF, BC = FG, 그리고 ∠B = ∠F

(또는 동등하게, 임의의 일치하는 인접한 변 한 쌍과 그 끼인각.) 이는 '평행사변형을 위한 SAS'로, 삼각형 합동의 SAS 공리를 직접적으로 반영합니다.

풀이 예제 — 두 평행사변형의 합동 증명

평행사변형 1: AB = 8, BC = 5, ∠B = 110°.
평행사변형 2: EF = 8, FG = 5, ∠F = 110°.

둘 다 일치하는 인접한 변과 일치하는 끼인각을 가지므로 합동입니다.

나머지 부분들을 계산하여 검증해 봅시다(역시 일치해야 함):

• 나머지 변: AD = 5, CD = 8 (둘 다) → EH = 5, GH = 8과 일치. ✓
• 나머지 각: ∠A = ∠C = 180° − 110° = 70° (둘 다) → ∠E = ∠G = 70°와 일치. ✓
• 대각선: 평행사변형의 정리에 의해 d₁² + d₂² = 2(8² + 5²) = 2(89) = 178. 두 평행사변형 모두 이를 만족하며, 구체적인 값은 하위 삼각형들에 대한 코사인 법칙으로부터 도출됩니다.

평행사변형의 대각선은 항상 2개의 합동 삼각형을 만든다

임의의 평행사변형 ABCD에서 대각선 AC를 그리면 두 삼각형 △ABC와 △CDA가 생성됩니다. 이들은 항상 합동입니다. 여기 그 증명이 있습니다:

이는 기초적인 결과로, 이것이 평행사변형의 대변이 같은 이유입니다(대각선에 의해 나뉜 삼각형들의 합동 대응 부분(CPCTC)).

평행사변형의 정리 — 변과 대각선

변이 a와 b이고 대각선이 d₁과 d₂인 임의의 평행사변형에 대해:

d₁² + d₂² = 2(a² + b²)

대각선의 제곱의 합은 변의 제곱의 합의 두 배와 같습니다. 이는 평행사변형 버전의 피타고라스 정리입니다.

증명: 평행사변형을 한 꼭짓점이 원점에 오도록 좌표평면에 놓습니다. 대각선은 마주 보는 꼭짓점을 연결하며, 그 길이는 거리 공식에서 나옵니다. 끼인각의 코사인을 사용하여 제곱을 전개하면 cos²θ + sin²θ = 1 항등식을 통해 단순화됩니다.

이 정리는 다른 대각선과 두 변의 길이를 알 때 하나의 대각선 길이를 찾는 데에도 사용될 수 있습니다.

대각선은 서로를 이등분한다

임의의 평행사변형에서 두 대각선은 한 점에서 교차하며, 그 점은 두 대각선 모두의 중점입니다(각 대각선이 이등분됨). 이는 필요충분조건입니다: 사각형의 대각선이 서로를 이등분할 필요충분조건은 그 사각형이 평행사변형인 것입니다.

증명 개요: 두 대각선에 의해 형성되는 4개의 작은 삼각형은 수직각과 일치하는 대변을 이용하여 SAS(측-각-측)에 의해 합동인 삼각형 쌍으로 이루어집니다. 이 합동인 쌍들이 중점 성질을 강제합니다.

대각선은 언제 같은가?

직사각형에서만 그렇습니다. 직사각형은 네 각이 모두 90°인 평행사변형입니다. 직사각형의 두 대각선은 길이가 같습니다: d₁ = d₂ = √(a² + b²) — 각 대각선에 피타고라스 정리를 적용한 바로 그 결과입니다.

정사각형(직사각형 + 모든 변이 같음)과 비정방 직사각형은 모두 대각선의 길이가 같습니다. 마름모(평행사변형 + 모든 변이 같으나 정사각형은 아님)는 길이가 다른 대각선을 가집니다 — 대각선은 서로 수직이지만 길이는 같지 않습니다.

실생활 응용

• 가구 및 건축. 평행사변형 형태의 지지대와 받침대는 구조적 안정성을 위해 대각선 이등분 성질을 사용합니다.
• 벡터 수학. 벡터 덧셈(‘평행사변형 규칙’)은 두 벡터를 평행사변형의 인접한 변으로 시각적으로 더하며, 합은 대각선이 됩니다. 크기 평행사변형 정리는 여기서 직접적으로 따릅니다.
• 컴퓨터 그래픽스. 텍스처 매핑과 아핀 변환은 평행사변형을 보존합니다 — 어떤 아핀 변환 후에도 사각형은 평행사변형으로 남습니다.

흔한 실수

• 평행사변형 합동에 SSS(측-측-측)를 사용하려고 함. 삼각형의 SSS는 3개의 변을 사용합니다. 평행사변형의 경우, '두 변과 끼인각'(SAS 방식 테스트)이 올바른 확인 방법입니다. 네 변 모두를 일치시키는 것만으로는 부족합니다 — 마름모와 정사각형은 모두 네 변의 길이가 같을 수 있지만 합동이 아닙니다(각이 다르기 때문).
• 대각선이 비슷해 보이므로 길이가 같다고 가정함. 대각선의 길이가 같은 것은 직사각형(및 정사각형)뿐입니다. 마름모는 그렇지 않습니다.
• 대각선이 항상 이등분된다는 사실을 잊음. 일부 학생들은 직사각형의 대각선만 이등분된다고 생각합니다. 틀렸습니다 — 모든 평행사변형의 대각선은 서로를 이등분합니다.
• '합동인 평행사변형'을 '같은 넓이'로 취급함. 넓이가 같다는 것은 필요조건이지만 충분조건은 아닙니다. 4×6 직사각형과 2×12 직사각형은 같은 넓이(24)를 가지지만 합동이 아닙니다(변의 길이가 다름).