円内接四角形計算機

円に内接する四角形とは、4つの頂点がすべて1つの円周上に存在する四角形のことです。これは「任意の三角形は円に内接できる」という性質の四角形版ですが、三角形とは異なり、すべての四角形が円に内接するわけではありません。この円に内接するという性質により、いくつかの驚くべき関係が生じます。対角の和は180°になり、面積はブラーマグプタの公式（ヘロンの公式の円内接版）に従い、対角線はトレミーの定理を満たします。このチュートリアルではこれら3つすべてを扱います。

定義される性質

四角形ABCDが円に内接するのは、4つの頂点すべてが1つの円周上にある場合、かつその場合に限ります。この円を外接円（または外接円）と呼び、その半径を外接半径 R と呼びます。

円に内接する四角形の判定法 — 最も簡単なバージョン：対角の和が180°になる。

∠A + ∠C = 180°
∠B + ∠D = 180°

（任意の四角形において4つの角の和は360°であるため、どちらかの式が成り立てばもう一方も必然的に成り立ちます。）

なぜ対角の和が180°になるのか

これは円周角の定理の直接的な帰結です。円に内接する角（円周角）は、同じ弧に対する中心角の半分です。

円に内接する四角形ABCDにおいて、角Aと角Cは、円の互いに反対側の弧に対する円周角です。この2つの弧を合わせると円全体（弧360°）になります。各円周角は対応する弧の半分であるため、それらの和は360°の半分、すなわち180°になります。

逆もまた真です（逆定理）。四角形の対角の和が180°であれば、それは円に内接しています。これは「この四角形は円に内接するか？」を実用的に判定するためのテストとなります。

ブラーマグプタの公式

辺の長さが a, b, c, d である円に内接する四角形の面積は以下の通りです：

面積 = √((s − a)(s − b)(s − c)(s − d))

ここで s = (a + b + c + d) / 2 は半周長です。

7世紀のインドの数学者ブラーマグプタによって発見されたこの公式は、三角形のヘロンの公式に対する円に内接する四角形の類似物です。実際、辺の1つを長さ0に縮小すると、円に内接する四角形は三角形に退化し、ブラーマグプタの公式はヘロンの公式に還元されます。

非円内接四角形の場合、この公式は面積の過大評価を与えます。ブラーマグプタの値は、与えられた4つの辺の長さを持つ四角形で実現可能な最大面積であり、その最大値は四角形が円に内接する場合にのみ達成されます。

worked example — ブラーマグプタの公式

辺が 3, 4, 5, 6 の円に内接する四角形。

s = (3 + 4 + 5 + 6) / 2 = 9。

面積 = √((9−3)(9−4)(9−5)(9−6)) = √(6 × 5 × 4 × 3) = √360 ≈ 18.97。

トレミーの定理

対角線が p = AC および q = BD である円に内接する四角形ABCDにおいて：

p × q = a × c + b × d

対角線の積は、向かい合う辺の積の和に等しくなります（ここで a = AB, c = CD は1組の向かい合う辺、b = BC, d = DA はもう1組の向かい合う辺です）。

トレミーの定理は幾何学で最もエレガントな定理の一つです。これは円に内接する四角形における対角線と辺の間の直接的な関係を示します。

長方形におけるトレミーの定理

長方形は円に内接する四角形です（4つの頂点は、直径が長方形の対角線である円周上にあります）。辺が l と w である長方形について：

• a = c = l （2組の向かい合う辺はそれぞれ等しい）
• b = d = w
• 両方の対角線は等しい：p = q = √(l² + w²)

トレミーの定理より：p² = a×c + b×d = l² + w²。これはピタゴラスの定理そのものです！トレミーの定理は、ピタゴラスの定理をすべての円内接四角形に一般化したものです。

worked example — トレミーの定理

辺 AB = 5, BC = 6, CD = 8, DA = 7 の円に内接する四角形。対角線 AC = 9 です。対角線 BD を求めてください。

トレミーの定理より：AC × BD = AB × CD + BC × DA
9 × BD = 5 × 8 + 6 × 7 = 40 + 42 = 82
BD = 82/9 ≈ 9.11。

常に円に内接する四角形はどれか？

いくつかの特殊な四角形は、常に円に内接することが保証されています：

• 長方形： すべての角が90°であるため、対角の和は180°になります。常に円に内接します。
• 正方形： 特別な長方形です。円に内接します。
• 二等辺台形： 常に円に内接します。等しい脚により、対角は補角になります。
• 直角ひし形（ライト・カイト）： 2つの対角が直角であるひし形です。円に内接します。

必ずしも円に内接しないもの：

• 一般的な平行四辺形： 対角は等しいため、その和は2×角度になります。これが180°になるのは角度が90°の場合のみであり、その場合は長方形になります。長方形ではない平行四辺形は円に内接しません。
• ひし形： 辺がすべて等しい平行四辺形です。正方形ではないひし形は円に内接しません。
• 一般的な台形： 二等辺台形かどうかによって、円に内接するかどうかが決まります。
• 一般的なひし形（カイト）： 円に内接するかどうかは場合によります。

現実世界での応用

• 天文学（歴史的）。 ブラーマグプタとトレミーは、天球上の天体の位置に関する天文計算をサポートするために、円内接四角形の恒等式を開発しました。
• 建築。 stained glass（ステンドグラス）、モザイク、円形窓のデザインには、内接する四角形の形状が見られます。
• オリンピック数学（競技数学）。 円内接四角形の恒等式（トレミーの定理、ブラーマグプタの公式、対角の性質）は、数十の競技問題に登場します。
• コンピュータグラフィックス。 検出された4点が円周上にあるかどうかを検出するには、円内接の条件が使用されます。

よくある間違い

• 非円内接四角形にブラーマグプタの公式を適用する。 この公式は円内接四角形にのみ適用できます。辺が a, b, c, d である一般的な四角形の面積は、辺の長さだけでなく、対角線の長さや角度にも依存します。
• トレミーの定理の方向性を混同する。 トレミーの定理は「対角線の積 = 向かい合う辺の積の和」を示すものであり、「対角線 = 向かい合う辺の和」や他の変形ではありません。
• あらゆる平行四辺形を円内接四角形として扱う。 円に内接するのは長方形（直角を持つ平行四辺形）のみです。一般的な平行四辺形やひし形は円に内接しません。
• 対角の法則における「必要十分条件（if and only if）」を忘れる。 対角の和が180°になることは、必要な条件（すべての円内接四角形はこの性質を持つ）かつ十分な条件（この性質を持つ四角形は円に内接する）です。この双条件命題により、円に内接するかどうかの判定が可能になります。