Kreiseinbeschriebenes-Viereck-Rechner

Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, dessen vier Eckpunkte alle auf einem einzigen Kreis liegen. Dies ist das Vierecks-Analogon zu »Jedes Dreieck kann in einen Kreis einbeschrieben werden« — aber im Gegensatz zu Dreiecken ist nicht jedes Viereck ein Sehnenviereck. Die Eigenschaft des Sehnenvierecks erzeugt mehrere bemerkenswerte Beziehungen: Gegenwinkel ergeben zusammen 180°, die Fläche folgt der Formel von Brahmagupta (die zyklische Verallgemeinerung der Formel von Heron) und die Diagonalen erfüllen den Satz des Ptolemäus. Dieses Tutorial behandelt alle drei.

Die definierende Eigenschaft

Ein Viereck ABCD ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn alle vier Eckpunkte auf einem einzigen Kreis liegen. Der Kreis heißt Umkreis (oder Umkreiskreis), und sein Radius ist der Umkreisradius R.

Test auf Sehnenviereck — die einfachste Version: Gegenwinkel ergeben zusammen 180°.

∠A + ∠C = 180°
∠B + ∠D = 180°

(Jede der beiden Gleichungen impliziert die andere, da sich alle vier Winkel in jedem Viereck zu 360° summieren.)

Warum Gegenwinkel zusammen 180° ergeben

Dies ist eine direkte Konsequenz des Satzes vom Peripheriewinkel: Ein Peripheriewinkel in einem Kreis ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel, der denselben Bogen überspannt.

Für das Sehnenviereck ABCD: Die Winkel A und C sind Peripheriewinkel, die gegenüberliegende Bögen des Kreises überspannen. Die beiden Bögen zusammen bilden den gesamten Kreis (360° Bogenmaß). Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß wie sein entsprechender Bogen, daher beträgt ihre Summe die Hälfte von 360° = 180°.

Die Umkehrung gilt ebenfalls (Kehrsatz): Wenn die Gegenwinkel eines Vierecks zusammen 180° ergeben, dann IST es ein Sehnenviereck. Dies ist der praktische Test für »Ist dieses Viereck ein Sehnenviereck?«.

Formel von Brahmagupta

Die Fläche eines Sehnenvierecks mit den Seitenlängen a, b, c, d beträgt:

Fläche = √((s − a)(s − b)(s − c)(s − d))

wobei s = (a + b + c + d) / 2 der halbe Umfang ist.

Vom indischen Mathematiker Brahmagupta im 7. Jahrhundert entdeckt, ist diese Formel das Sehnenvierecks-Analogon zur Formel von Heron für Dreiecke. Tatsächlich degeneriert das Sehnenviereck zu einem Dreieck, wenn man eine der Seiten auf die Länge 0 schrumpfen lässt, und die Formel von Brahmagupta reduziert sich auf die Formel von Heron.

Für NICHT-Sehnenvierecke liefert diese Formel eine ÜBERSCHÄTZUNG der Fläche. Der Wert nach Brahmagupta ist die maximal mögliche Fläche für ein Viereck mit den vier gegebenen Seitenlängen — und dieses Maximum wird nur erreicht, wenn das Viereck ein Sehnenviereck ist.

Gerechnetes Beispiel — Formel von Brahmagupta

Sehnenviereck mit den Seiten 3, 4, 5, 6.

s = (3 + 4 + 5 + 6) / 2 = 9.

Fläche = √((9−3)(9−4)(9−5)(9−6)) = √(6 × 5 × 4 × 3) = √360 ≈ 18,97.

Satz des Ptolemäus

Für das Sehnenviereck ABCD mit den Diagonalen p = AC und q = BD:

p × q = a × c + b × d

Das Produkt der Diagonalen entspricht der Summe der Produkte der gegenüberliegenden Seiten (wobei a = AB und c = CD ein Paar gegenüberliegender Seiten sind und b = BC sowie d = DA das andere Paar bilden).

Der Satz des Ptolemäus ist einer der elegantesten Sätze der Geometrie. Er stellt eine direkte Beziehung zwischen Diagonalen und Seiten von Sehnenvierecken her.

Satz des Ptolemäus in einem Rechteck

Ein Rechteck ist ein Sehnenviereck (alle vier Eckpunkte liegen auf einem Kreis, dessen Durchmesser die Diagonale des Rechtecks ist). Für ein Rechteck mit den Seiten l und w:

• a = c = l (die beiden Paare gegenüberliegender Seiten sind gleich lang)
• b = d = w
• Beide Diagonalen sind gleich lang: p = q = √(l² + w²)

Satz des Ptolemäus: p² = a×c + b×d = l² + w². Das ist einfach der Satz des Pythagoras! Der Satz des Ptolemäus verallgemeinert den Satz des Pythagoras auf alle Sehnenvierecke.

Gerechnetes Beispiel — Satz des Ptolemäus

Sehnenviereck mit den Seiten AB = 5, BC = 6, CD = 8, DA = 7. Diagonale AC = 9. Gesucht ist die Diagonale BD.

Nach dem Satz des Ptolemäus: AC × BD = AB × CD + BC × DA
9 × BD = 5 × 8 + 6 × 7 = 40 + 42 = 82
BD = 82/9 ≈ 9,11.

Welche Vierecke sind immer Sehnenvierecke?

Mehrere spezielle Vierecke sind garantiert Sehnenvierecke:

• Rechteck: Alle Winkel sind 90°, also ergeben die Gegenwinkel zusammen 180°. Immer ein Sehnenviereck.
• Quadrat: Ein spezielles Rechteck. Sehnenviereck.
• Isosceles Trapezoid (gleichschenkliges Trapez): Immer ein Sehnenviereck. Die gleichen Schenkel erzwingen, dass die Gegenwinkel supplementär sind.
• Rechtwinkliges Drachenviereck: Ein Drachenviereck mit zwei gegenüberliegenden rechten Winkeln. Sehnenviereck.

NICHT notwendigerweise Sehnenvierecke:

• Allgemeines Parallelogramm: Gegenwinkel sind gleich, also ergeben sie zusammen 2×Winkel. Nur gleich 180°, wenn der Winkel 90° beträgt, was es zu einem Rechteck macht. Nicht-rechtwinklige Parallelogramme sind KEINE Sehnenvierecke.
• Rhombus (Raute): Ein Parallelogramm mit gleichen Seiten. Nicht-quadratische Rauten sind KEINE Sehnenvierecke.
• Allgemeines Trapez: Kann je nachdem, ob es gleichschenklig ist, ein Sehnenviereck sein oder auch nicht.
• Allgemeines Drachenviereck: Kann je nachdem ein Sehnenviereck sein oder auch nicht.

Anwendungen in der Praxis

• Astronomie (historisch). Sowohl Brahmagupta als auch Ptolemäus entwickelten Identitäten für Sehnenvierecke, um astronomische Berechnungen zu unterstützen, die Himmelspositionen auf der »Himmelskugel« betrafen.
• Architektur. Eingeschriebene Vierecksformen treten in Buntglasfenstern, Mosaiken und kreisförmigen Fensterdesigns auf.
• Olympiade-Mathematik. Identitäten für Sehnenvierecke (Satz des Ptolemäus, Formel von Brahmagupta, Eigenschaft der Gegenwinkel) erscheinen in Dutzenden von Wettbewerbsaufgaben.
• Computergrafik. Die Erkennung, ob vier erfasste Punkte auf einem Kreis liegen, nutzt die Sehnenviereck-Bedingung.

Häufige Fehler

• Anwendung der Formel von Brahmagupta auf Nicht-Sehnenvierecke. Die Formel funktioniert nur für Sehnenvierecke. Für ein allgemeines Viereck mit den Seiten a, b, c, d hängt die Fläche von mehr als nur den Seitenlängen ab — es werden Diagonalenlängen oder Winkel benötigt.
• Verwechslung der Richtung des Satzes des Ptolemäus. Der Satz des Ptolemäus besagt »Produkt der Diagonalen = Summe der Produkte der gegenüberliegenden Seiten«, NICHT »Diagonale = Summe der gegenüberliegenden Seiten« oder andere Umformungen.
• Betrachtung jedes Parallelogramms als Sehnenviereck. Nur Rechtecke (Parallelogramme mit rechten Winkeln) sind Sehnenvierecke. Allgemeine Parallelogramme und Rauten sind keine.
• Vergessen der »genau dann, wenn«-Bedingung bei der Regel für Gegenwinkel. Dass Gegenwinkel zusammen 180° ergeben, ist BEIDE notwendig (jedes Sehnenviereck hat dies) UND hinreichend (ein Viereck mit dieser Eigenschaft ist ein Sehnenviereck). Die Äquivalenz gibt Ihnen den Test für »Sehnenviereck oder nicht«.