원내접 사각형 계산기

원주 사각형(cyclic quadrilateral)은 네 꼭짓점이 모두 하나의 원 위에 있는 사각형을 말합니다. 이는 "모든 삼각형은 원에 내접할 수 있다"는 성질의 사각형 버전이지만, 삼각형과 달리 모든 사각형이 원주 사각형인 것은 아닙니다. 원주 사각형의 성질은 몇 가지 놀라운 관계를 만듭니다: 대각의 합은 180°이며, 넓이는 브라마굽타 공식(Brahmagupta's formula)(헤론 공식의 원주 사각형 일반화)을 따르고, 대각선은 톨레미 정리(Ptolemy's theorem)를 만족합니다. 이 튜토리얼에서는 이 세 가지를 모두 다룹니다.

정의적 성질

사각형 ABCD가 원주 사각형일 필요충분조건은 네 꼭짓점이 모두 하나의 원 위에 있는 것입니다. 이때 그 원을 외접원(circumscribed circle) 또는 외부원(circumcircle)이라고 하며, 그 반지름을 외접반지름(circumradius) R이라고 합니다.

원주 사각형 판별법 — 가장 간단한 형태: 대각의 합이 180°이다.

∠A + ∠C = 180°
∠B + ∠D = 180°

(어느 한 식이 성립하면 다른 한 식도 성립합니다. 모든 사각형의 네 내각의 합은 항상 360°이기 때문입니다.)

왜 대각의 합이 180°인가

이는 원주각의 정리(Inscribed Angle Theorem)의 직접적인 결과입니다: 원 위의 원주각은 같은 호를 지나는 중심각의 절반입니다.

원주 사각형 ABCD에서: 각 A와 각 C는 원의 서로 반대쪽 호를 지나는 원주각입니다. 이 두 호를 합치면 전체 원(호 360°)이 됩니다. 각 원주각은 해당 호의 절반이므로, 두 각의 합은 360°의 절반인 180°가 됩니다.

역도 성립합니다(역정리): 사각형의 대각의 합이 180°라면, 그 사각형은 원주 사각형입니다. 이것이 "이 사각형이 원주 사각형인지 확인하는" 실용적인 판별법입니다.

브라마굽타 공식

변의 길이가 a, b, c, d인 원주 사각형의 넓이는 다음과 같습니다:

넓이 = √((s − a)(s − b)(s − c)(s − d))

여기서 s = (a + b + c + d) / 2 는 반둘레(semi-perimeter)입니다.

7세기의 인도 수학자 브라마굽타가 발견한 이 공식은 삼각형의 헤론 공식에 해당하는 원주 사각형의 넓이 공식입니다. 실제로 한 변의 길이를 0으로 줄이면 원주 사각형은 삼각형으로 퇴화하고, 브라마굽타 공식은 헤론 공식으로 축소됩니다.

비원주 사각형에 대해 이 공식을 적용하면 넓이를 과대평가하게 됩니다. 브라마굽타 공식이 주는 값은 주어진 네 변의 길이를 가진 사각형이 가질 수 있는 최대 넓이이며, 이 최대값은 사각형이 원주 사각형일 때만 달성됩니다.

예제 풀이 — 브라마굽타 공식

변의 길이가 3, 4, 5, 6인 원주 사각형.

s = (3 + 4 + 5 + 6) / 2 = 9.

넓이 = √((9−3)(9−4)(9−5)(9−6)) = √(6 × 5 × 4 × 3) = √360 ≈ 18.97.

톨레미 정리

대각선의 길이가 p = AC, q = BD인 원주 사각형 ABCD에 대해:

p × q = a × c + b × d

대각선의 곱은 마주 보는 변들의 곱의 합과 같습니다 (여기서 a = AB, c = CD는 한 쌍의 마주 보는 변이고, b = BC, d = DA는 다른 한 쌍입니다).

톨레미 정리는 기하학에서 가장 우아한 정리 중 하나입니다. 이는 원주 사각형의 대각선과 변 사이의 직접적인 관계를 제공합니다.

직사각형에서의 톨레미 정리

직사각형은 원주 사각형입니다 (네 꼭짓점이 모두 직사각형의 대각선을 지름으로 하는 원 위에 있기 때문입니다). 변의 길이가 l과 w인 직사각형에 대해:

• a = c = l (두 쌍의 마주 보는 변은 길이가 같다)
• b = d = w
• 두 대각선은 모두 같음: p = q = √(l² + w²)

톨레미 정리: p² = a×c + b×d = l² + w². 이는 피타고라스 정리와 동일합니다! 톨레미 정리는 피타고라스 정리를 모든 원주 사각형으로 일반화한 것입니다.

예제 풀이 — 톨레미 정리

변 AB = 5, BC = 6, CD = 8, DA = 7인 원주 사각형입니다. 대각선 AC = 9일 때, 대각선 BD를 구하십시오.

톨레미 정리에 의해: AC × BD = AB × CD + BC × DA
9 × BD = 5 × 8 + 6 × 7 = 40 + 42 = 82
BD = 82/9 ≈ 9.11.

항상 원주 사각형인 사각형은?

몇 가지 특수한 사각형은 항상 원주 사각형입니다:

• 직사각형: 모든 각이 90°이므로 대각의 합은 180°입니다. 항상 원주 사각형입니다.
• 정사각형: 특수한 직사각형입니다. 원주 사각형입니다.
• 등변 사다리꼴: 항상 원주 사각형입니다. 두 옆변의 길이가 같으면 대각이 보각 관계가 됩니다.
• 직각 연꼴(Right kite): 두 대각이 직각인 연꼴입니다. 원주 사각형입니다.

필연적으로 원주 사각형이 아닌 경우:

• 일반 평행사변형: 대각이 같으므로 두 각의 합은 2×각입니다. 각이 90°일 때만 180°가 되어 직사각형이 됩니다. 직사각형이 아닌 평행사변형은 원주 사각형이 아닙니다.
• 마름모: 네 변의 길이가 같은 평행사변형입니다. 정사각형이 아닌 마름모는 원주 사각형이 아닙니다.
• 일반 사다리꼴: 등변 사다리꼴인지 여부에 따라 원주 사각형일 수도 있고 아닐 수도 있습니다.
• 일반 연꼴: 원주 사각형일 수도 있고 아닐 수도 있습니다.

실생활 응용

• 천문학 (역사적). 브라마굽타와 톨레미는 모두 천체의 위치를 다루는 천문 계산 지원을 위해 원주 사각형 항등식을 개발했습니다.
• 건축. 스테인드 글라스, 모자이크, 원형 창문 디자인 등에 내접 사각형 모양이 나타납니다.
• 올림피아드 수학. 원주 사각형 항등식(톨레미 정리, 브라마굽타 공식, 대각의 합 성질)은 수많은 경시문제에 등장합니다.
• 컴퓨터 그래픽스. 감지된 네 점이 원 위에 있는지 여부를 판단하는 데 원주 조건이 사용됩니다.

흔한 실수

• 비원주 사각형에 브라마굽타 공식을 적용하기. 이 공식은 원주 사각형에서만 유효합니다. 변의 길이가 a, b, c, d인 일반 사각형의 넓이는 변의 길이만으로 결정되지 않으며, 대각선의 길이나 각도가 추가로 필요합니다.
• 톨레미 정리의 방향을 혼동하기. 톨레미 정리는 "대각선의 곱 = 마주 보는 변들의 곱의 합"을 의미하며, "대각선 = 마주 보는 변들의 합"이나 다른 변형이 아닙니다.
• 모든 평행사변형을 원주 사각형으로 취급하기. 원주 사각형이 되는 평행사변형은 직사각형(우각을 가진 평행사변형)뿐입니다. 일반 평행사변형과 마름모는 원주 사각형이 아닙니다.
• 대각의 합 규칙에서 "필요충분조건"을 잊기. 대각의 합이 180°인 것은 필요조건(모든 원주 사각형이 이를 가짐)이자 충분조건(이 성질을 가진 사각형은 원주 사각형임)입니다. 이 양방향 성질이 원주 사각형 여부를 판별하는 기준이 됩니다.