Calculadora de cuadrilátero cíclico

Un cuadrilátero cíclico es un cuadrilátero cuyos cuatro vértices se encuentran todos en una misma circunferencia. Este es el análogo cuadrilátero de la afirmación "todo triángulo puede inscribirse en una circunferencia"; pero, a diferencia de los triángulos, no todo cuadrilátero es cíclico. La propiedad cíclica crea varias relaciones notables: los ángulos opuestos suman 180°, el área sigue la fórmula de Brahmagupta (la generalización cíclica de la fórmula de Herón) y las diagonales satisfacen el teorema de Ptolomeo. Este tutorial cubre los tres aspectos.

La propiedad definitoria

Un cuadrilátero ABCD es cíclico si y solo si sus cuatro vértices yacen sobre una única circunferencia. Dicha circunferencia se denomina circunferencia circunscrita (o circuncircunferencia), y su radio es el circumradio R.

Prueba de cuadrilátero cíclico — la versión más sencilla: los ángulos opuestos suman 180°.

∠A + ∠C = 180°
∠B + ∠D = 180°

(Cualquiera de estas ecuaciones implica la otra, ya que la suma de los cuatro ángulos es 360° en cualquier cuadrilátero.)

Por qué los ángulos opuestos suman 180°

Esto es una consecuencia directa del Teorema del Ángulo Inscrito: un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad del ángulo central que subtiende el mismo arco.

Para el cuadrilátero cíclico ABCD: los ángulos A y C son ángulos inscritos que subtienden arcos opuestos de la circunferencia. Los dos arcos juntos forman toda la circunferencia (360° de arco). Cada ángulo inscrito es la mitad de su arco correspondiente, por lo que su suma es la mitad de 360°, es decir, 180°.

El recíproco también es cierto (converso): si los ángulos opuestos de un cuadrilátero suman 180°, entonces ES cíclico. Esta es la prueba práctica para determinar "¿es este cuadrilátero cíclico?".

Fórmula de Brahmagupta

El área de un cuadrilátero cíclico con longitudes de lados a, b, c, d es:

Área = √((s − a)(s − b)(s − c)(s − d))

donde s = (a + b + c + d) / 2 es el semiperímetro.

Descubierta por el matemático indio Brahmagupta en el siglo VII, esta fórmula es el análogo cíclico de la fórmula de Herón para triángulos. De hecho, si haces que uno de los lados tienda a longitud 0, el cuadrilátero cíclico se degenera en un triángulo y la fórmula de Brahmagupta se reduce a la de Herón.

Para cuadriláteros NO cíclicos, esta fórmula proporciona una SOBREESTIMACIÓN del área. El valor de Brahmagupta es el área máxima alcanzable para un cuadrilátero con las cuatro longitudes de lado dadas; y ese máximo se alcanza únicamente cuando el cuadrilátero es cíclico.

Ejemplo resuelto — Fórmula de Brahmagupta

Cuadrilátero cíclico con lados 3, 4, 5, 6.

s = (3 + 4 + 5 + 6) / 2 = 9.

Área = √((9−3)(9−4)(9−5)(9−6)) = √(6 × 5 × 4 × 3) = √360 ≈ 18.97.

Teorema de Ptolomeo

Para el cuadrilátero cíclico ABCD con diagonales p = AC y q = BD:

p × q = a × c + b × d

El producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos (donde a = AB, c = CD son un par de lados opuestos, y b = BC, d = DA son el otro par).

El teorema de Ptolomeo es uno de los más elegantes en geometría. Establece una relación directa entre las diagonales y los lados de los cuadriláteros cíclicos.

Ptolomeo en un rectángulo

Un rectángulo es un cuadrilátero cíclico (los cuatro vértices se encuentran en una circunferencia cuyo diámetro es la diagonal del rectángulo). Para un rectángulo con lados l y w:

• a = c = l (los dos pares de lados opuestos son iguales)
• b = d = w
• Ambas diagonales son iguales: p = q = √(l² + w²)

Ptolomeo: p² = a×c + b×d = l² + w². ¡Lo cual es simplemente el teorema de Pitágoras! El teorema de Ptolomeo generaliza el teorema de Pitágoras a todos los cuadriláteros cíclicos.

Ejemplo resuelto — Ptolomeo

Cuadrilátero cíclico con lados AB = 5, BC = 6, CD = 8, DA = 7. Diagonal AC = 9. Hallar la diagonal BD.

Por Ptolomeo: AC × BD = AB × CD + BC × DA
9 × BD = 5 × 8 + 6 × 7 = 40 + 42 = 82
BD = 82/9 ≈ 9.11.

¿Qué cuadriláteros son siempre cíclicos?

Varios cuadriláteros especiales están garantizados como cíclicos:

• Rectángulo: todos sus ángulos son 90°, por lo que los ángulos opuestos suman 180°. Siempre es cíclico.
• Cuadrado: un rectángulo especial. Es cíclico.
• Trapecio isósceles: siempre es cíclico. Las piernas iguales fuerzan a que los ángulos opuestos sean suplementarios.
• Deltóide recto: un deltóide con dos ángulos rectos opuestos. Es cíclico.

NO necesariamente cíclicos:

• Paralelogramo general: los ángulos opuestos son iguales, por lo que suman 2×ángulo. Solo es igual a 180° si el ángulo es 90°, lo que lo convierte en un rectángulo. Los paralelogramos no rectangulares NO son cíclicos.
• Rombo: un paralelogramo con lados iguales. Los rombos no cuadrados NO son cíclicos.
• Trapecio general: puede o no ser cíclico dependiendo de si es isósceles.
• Deltóide general: puede o no ser cíclico.

Aplicaciones en el mundo real

• Astronomía (histórica). Tanto Brahmagupta como Ptolomeo desarrollaron identidades de cuadriláteros cíclicos para apoyar cálculos astronómicos que involucraban posiciones celestes en la "esfera celeste".
• Arquitectura. Formas cuadriláteras inscritas aparecen en vidrieras, mosaicos y diseños de ventanas circulares.
• Matemáticas de olimpiada. Las identidades de cuadriláteros cíclicos (Ptolomeo, Brahmagupta, propiedad de ángulos opuestos) aparecen en docenas de problemas de competencias.
• Gráficos por computadora. Detectar si cuatro puntos detectados yacen en una circunferencia utiliza la condición de cicularidad.

Errores comunes

• Aplicar la fórmula de Brahmagupta a cuadriláteros no cíclicos. La fórmula solo funciona para cuadriláteros cíclicos. Para un cuadrilátero general con lados a, b, c, d, el área depende de más que solo las longitudes de los lados; se necesitan las longitudes de las diagonales o los ángulos.
• Confundir la dirección del teorema de Ptolomeo. Ptolomeo establece "producto de diagonales = suma de productos de lados opuestos", NO "diagonal = suma de lados opuestos" ni otras reordenaciones.
• Tratar cualquier paralelogramo como cíclico. Solo los rectángulos (paralelogramos con ángulos rectos) son cíclicos. Los paralelogramos generales y los rombos no lo son.
• Olvidar el "si y solo si" en la regla de los ángulos opuestos. Que los ángulos opuestos sumen 180° es AMBIO necesario (todo cuadrilátero cíclico tiene esto) COMO suficiente (un cuadrilátero con esta propiedad es cíclico). La bicondicionalidad te da la prueba de si es cíclico o no.