Calculateur de quadrilatère cyclique

Un quadrilatère cyclique est un quadrilatère dont les quatre sommets se trouvent tous sur un même cercle. Il s'agit de l'analogue quadrilatéral de la propriété « tout triangle peut être inscrit dans un cercle » — mais contrairement aux triangles, tous les quadrilatères ne sont pas cycliques. La propriété cyclique engendre plusieurs relations remarquables : la somme des angles opposés est de 180°, l'aire est donnée par la formule de Brahmagupta (généralisation cyclique de la formule de Héron), et les diagonales satisfont le théorème de Ptolémée. Ce tutoriel couvre ces trois aspects.

La propriété définissante

Un quadrilatère ABCD est cyclique si et seulement si ses quatre sommets se trouvent sur un même cercle. Ce cercle est appelé le cercle circonscrit (ou cercle circonscrit), et son rayon est le rayon du cercle circonscrit R.

Test de cyclicité d'un quadrilatère — la version la plus simple : la somme des angles opposés est égale à 180°.

∠A + ∠C = 180°
∠B + ∠D = 180°

(L'une ou l'autre équation implique l'autre, car la somme des quatre angles est toujours de 360° dans n'importe quel quadrilatère.)

Pourquoi la somme des angles opposés est-elle de 180° ?

Ceci est une conséquence directe du théorème de l'angle inscrit : un angle inscrit dans un cercle est la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc.

Pour le quadrilatère cyclique ABCD : les angles A et C sont des angles inscrits interceptant des arcs opposés du cercle. Les deux arcs ensemble forment la totalité du cercle (360° d'arc). Chaque angle inscrit étant la moitié de son arc correspondant, leur somme est la moitié de 360°, soit 180°.

Réciproquement, cela vaut aussi (réciproque) : si la somme des angles opposés d'un quadrilatère est de 180°, alors il EST cyclique. C'est le test pratique pour déterminer « ce quadrilatère est-il cyclique ? ».

Formule de Brahmagupta

L'aire d'un quadrilatère cyclique de côtés a, b, c, d est :

Aire = √((s − a)(s − b)(s − c)(s − d))

où s = (a + b + c + d) / 2 est le demi-périmètre.

Découverte par le mathématicien indien Brahmagupta au VIIe siècle, cette formule est l'analogue cyclique de la formule de Héron pour les triangles. En effet, si l'on fait tendre l'un des côtés vers une longueur nulle, le quadrilatère cyclique se dégénère en triangle et la formule de Brahmagupta se réduit à celle de Héron.

Pour les quadrilatères NON cycliques, cette formule donne une SUR-estimation de l'aire. La valeur de Brahmagupta correspond à l'aire maximale réalisable pour un quadrilatère ayant les quatre longueurs de côtés données — et ce maximum n'est atteint que lorsque le quadrilatère est cyclique.

Exemple résolu — Formule de Brahmagupta

Quadrilatère cyclique de côtés 3, 4, 5, 6.

s = (3 + 4 + 5 + 6) / 2 = 9.

Aire = √((9−3)(9−4)(9−5)(9−6)) = √(6 × 5 × 4 × 3) = √360 ≈ 18,97.

Théorème de Ptolémée

Pour le quadrilatère cyclique ABCD avec les diagonales p = AC et q = BD :

p × q = a × c + b × d

Le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés (où a = AB, c = CD forment une paire de côtés opposés, et b = BC, d = DA l'autre paire).

Le théorème de Ptolémée est l'un des plus élégants en géométrie. Il établit une relation directe entre les diagonales et les côtés des quadrilatères cycliques.

Théorème de Ptolémée dans un rectangle

Un rectangle est un quadrilatère cyclique (ses quatre sommets se trouvent sur un cercle dont le diamètre est la diagonale du rectangle). Pour un rectangle de côtés l et w :

• a = c = l (les deux paires de côtés opposés sont égales)
• b = d = w
• Les deux diagonales sont égales : p = q = √(l² + w²)

Ptolémée : p² = a×c + b×d = l² + w². Ce qui n'est autre que le théorème de Pythagore ! Le théorème de Ptolémée généralise le théorème de Pythagore à tous les quadrilatères cycliques.

Exemple résolu — Théorème de Ptolémée

Quadrilatère cyclique de côtés AB = 5, BC = 6, CD = 8, DA = 7. Diagonale AC = 9. Trouver la diagonale BD.

D'après Ptolémée : AC × BD = AB × CD + BC × DA
9 × BD = 5 × 8 + 6 × 7 = 40 + 42 = 82
BD = 82/9 ≈ 9,11.

Quels quadrilatères sont toujours cycliques ?

Plusieurs quadrilatères particuliers sont garantis cycliques :

• Rectangle : tous les angles sont de 90°, donc la somme des angles opposés est de 180°. Toujours cyclique.
• Carré : un rectangle particulier. Cyclique.
• Trapeze isocèle : toujours cyclique. Les côtés égaux imposent que les angles opposés soient supplémentaires.
• Cerf-volant rectangle : un cerf-volant possédant deux angles droits opposés. Cyclique.

NON nécessairement cycliques :

• Parallélogramme quelconque : les angles opposés sont égaux, donc leur somme est 2×angle. Elle n'est égale à 180° que si l'angle vaut 90°, ce qui en fait un rectangle. Les parallélogrammes non rectangulaires ne sont PAS cycliques.
• Rhombus : un parallélogramme aux côtés égaux. Les rhombes non carrés ne sont PAS cycliques.
• Trapeze quelconque : peut être cyclique ou non selon qu'il est isocèle ou non.
• Cerf-volant quelconque : peut être cyclique ou non.

Applications pratiques

• Astronomie (historique). Brahmagupta et Ptolémée ont tous deux développé des identités relatives aux quadrilatères cycliques pour soutenir les calculs astronomiques impliquant les positions célestes sur la « sphère céleste ».
• Architecture. Des formes quadrilatérales inscrites apparaissent dans les vitraux, les mosaïques et les conceptions de fenêtres circulaires.
• Mathématiques olympiques. Les identités des quadrilatères cycliques (Ptolémée, Brahmagupta, propriété des angles opposés) figurent dans des dizaines de problèmes de compétitions.
• Infographie. Détecter si quatre points détectés se trouvent sur un cercle utilise la condition de cyclicité.

Erreurs courantes

• Appliquer la formule de Brahmagupta à des quadrilatères non cycliques. La formule ne fonctionne que pour les quadrilatères cycliques. Pour un quadrilatère quelconque de côtés a, b, c, d, l'aire dépend de plus que des simples longueurs des côtés — les longueurs des diagonales ou les angles sont nécessaires.
• Confondre la direction du théorème de Ptolémée. Ptolémée donne « produit des diagonales = somme des produits des côtés opposés », et NON « diagonale = somme des côtés opposés » ou d'autres réarrangements incorrects.
• Considérer n'importe quel parallélogramme comme cyclique. Seuls les rectangles (parallélogrammes avec des angles droits) sont cycliques. Les parallélogrammes quelconques et les rhombes ne le sont pas.
• Oublier le « si et seulement si » dans la règle des angles opposés. La somme des angles opposés à 180° est à la fois NECESSAIRE (tout quadrilatère cyclique possède cette propriété) ET SUFFISANTE (un quadrilatère ayant cette propriété est cyclique). La double implication fournit le test de cyclicité.