Cada polígono — triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, hasta un 100-gono — tiene fórmulas de ángulos predecibles basadas en el número de lados. Dos hechos para recordar y podrás resolver cualquier problema de ángulos de polígonos:
| Fórmula | Ecuación | Usar Cuando |
|---|---|---|
| Suma de ángulos interiores | S = (n − 2) × 180° | Cualquier polígono, regular o no |
| Cada ángulo interior (solo regular) | a = (n − 2) × 180° / n | Todos los lados + ángulos iguales |
| Suma de ángulos exteriores | 360° (siempre) | Cualquier polígono convexo |
| Cada ángulo exterior (solo regular) | e = 360° / n | Todos los lados iguales |
Identidad adicional: en cualquier vértice, interior + exterior = 180° (son suplementarios).
Elige cualquier polígono y dibuja todas las diagonales desde un vértice. Siempre lo dividirás en exactamente n − 2 triángulos. Los tres ángulos de cada triángulo suman 180°, y juntos sus ángulos llenan todo el polígono. Por lo tanto:
Suma de ángulos del polígono = (n − 2) triángulos × 180° por triángulo = (n − 2) × 180°
Esta es la derivación de geometría más importante para entender — una vez que veas POR QUÉ, nunca olvidarás la fórmula.
| n (lados) | Nombre | Suma interior | Cada interior (regular) | Cada exterior (regular) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | Triángulo | 180° | 60° | 120° |
| 4 | Cuadrilátero | 360° | 90° | 90° |
| 5 | Pentágono | 540° | 108° | 72° |
| 6 | Hexágono | 720° | 120° | 60° |
| 7 | Heptágono | 900° | ≈ 128.57° | ≈ 51.43° |
| 8 | Octágono | 1080° | 135° | 45° |
| 9 | Nonágono | 1260° | 140° | 40° |
| 10 | Decágono | 1440° | 144° | 36° |
| 11 | Hendecágono | 1620° | ≈ 147.27° | ≈ 32.73° |
| 12 | Dodecágono | 1800° | 150° | 30° |
Si conoces la suma de ángulos interiores S, el número de lados es:
n = S / 180° + 2
Ejemplo: S = 1980° → n = 1980/180 + 2 = 11 + 2 = 13 lados (tridecágono).
Para un polígono regular: a = (n − 2) × 180° / n. Resolver para n:
n = 360° / (180° − a)
Ejemplo: cada ángulo interior es 162°. n = 360 / (180 − 162) = 360 / 18 = 20 lados (icoságono).
Pentágono con 4 ángulos conocidos (110°, 95°, 130°, 105°). Suma = (5 − 2) × 180° = 540°. Ángulo faltante = 540° − (110 + 95 + 130 + 105) = 540° − 440° = 100°.
"Cada ángulo interior de un polígono regular es 144°. ¿Cuántos lados?" Usa n = 360/(180 − 144) = 360/36 = 10 lados (decágono).
"En un hexágono, cuatro ángulos son 120° cada uno. Los dos restantes son iguales. Encuéntralos." Suma = 720°. Conocidos = 4 × 120 = 480°. Los dos restantes suman 720 − 480 = 240°. Cada uno = 120°.
Imagina caminar alrededor del polígono. En cada vértice giras por el ángulo exterior. Después de completar el bucle, has girado un total de 360°. Esto es cierto para CUALQUIER polígono convexo — n podría ser 3, 100 o 1000, el giro total siempre es 360°.
Esto hace que la fórmula de ángulo exterior por vértice sea trivialmente e = 360°/n para polígonos regulares.
Para una herramienta interactiva, usa nuestra Calculadora de Suma de Ángulos de Polígonos — ingresa n y obtén los cuatro valores a la vez. Para encontrar n desde una suma o ángulo conocido, prueba nuestra Calculadora de Lados de Polígonos.
¿Estas fórmulas funcionan para polígonos cóncavos? Sí para la suma interior (aún (n−2)×180°). Para ángulos exteriores, "cóncavo" puede tener ángulos exteriores negativos o reflejos que aún suman 360° si cuentas el signo correctamente. La mayoría de los problemas escolares usan polígonos convexos.
¿Qué pasa con los polígonos estrella? Los polígonos estrella (pentagrama, etc.) siguen reglas diferentes — la fórmula anterior es solo para polígonos simples convexos/cóncavos.
¿Puedo usar radianes? Sí. Reemplaza 180° con π. Suma = (n − 2)π, suma exterior = 2π. La mayoría de los trabajos escolares us