すべての多角形 — 三角形、四角形、五角形、六角形、上限は100角形まで — は、辺の数に基づいた予測可能な角度公式を持っています。覚えておくべき2つの事実で、設定されたすべての多角形の角度問題を解くことができます：
| 公式 | 式 | 使用する場合 |
|---|---|---|
| 内角の和 | S = (n − 2) × 180° | 任意の多角形、正または非正 |
| 各内角（正のみ） | a = (n − 2) × 180° / n | すべての辺と角度が等しい |
| 外角の和 | 360° (常に) | 任意の凸多角形 |
| 各外角（正のみ） | e = 360° / n | すべての辺が等しい |
ボーナス恒等式： 任意の頂点で、内角 + 外角 = 180° （補角です）。
任意の多角形を選び、一つの頂点からすべての対角線を描きます。常にn − 2 個の三角形に分割されます。各三角形の3つの角度は180°に和し、それらの角度は多角形全体を埋めます。したがって：
多角形の角度和 = (n − 2) 個の三角形 × 三角形あたり180° = (n − 2) × 180°
これは理解すべき最も重要なジオメトリの導出です — なぜかを理解すれば、公式を決して忘れません。
| n (辺の数) | 名称 | 内角の和 | 各内角 (正) | 各外角 (正) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 三角形 | 180° | 60° | 120° |
| 4 | 四角形 | 360° | 90° | 90° |
| 5 | 五角形 | 540° | 108° | 72° |
| 6 | 六角形 | 720° | 120° | 60° |
| 7 | 七角形 | 900° | ≈ 128.57° | ≈ 51.43° |
| 8 | 八角形 | 1080° | 135° | 45° |
| 9 | 九角形 | 1260° | 140° | 40° |
| 10 | 十角形 | 1440° | 144° | 36° |
| 11 | 十一角形 | 1620° | ≈ 147.27° | ≈ 32.73° |
| 12 | 十二角形 | 1800° | 150° | 30° |
内角の和 S がわかれば、辺の数は：
n = S / 180° + 2
例: S = 1980° → n = 1980/180 + 2 = 11 + 2 = 13 辺 (十三角形)。
正多角形の場合: a = (n − 2) × 180° / n。n を解く：
n = 360° / (180° − a)
例: 各内角は 162°。n = 360 / (180 − 162) = 360 / 18 = 20 辺 (二十角形)。
五角形で4つの既知角度 (110°、95°、130°、105°)。和 = (5 − 2) × 180° = 540°。欠損角度 = 540° − (110 + 95 + 130 + 105) = 540° − 440° = 100°。
"正多角形の各内角は 144°。辺の数は？" n = 360/(180 − 144) = 360/36 = 10 辺 (十角形)。
"六角形で、四つの角度が各120°。残りの二つは等しい。それらを求める。" 和 = 720°。既知 = 4 × 120 = 480°。残り2つの和は 720 − 480 = 240°。各 = 120°。
多角形の周りを歩くのを想像してください。各頂点で外角だけ曲がります。ループを完了すると、全体で 360° 曲がっています。これは任意の凸多角形に当てはまります — n は 3、100、または 1000 でも、総曲がりは常に 360° です。
これにより、正多角形の頂点ごとの外角公式は自明に e = 360°/n となります。
インタラクティブツールとして、多角形角度和計算機 を使用してください — n を入力して、4つの値を一度に取得します。既知の和や角度から n を求めるには、多角形辺計算機 を試してください。
これらの公式は凹多角形に適用されますか？ 内角の和にははい (依然として (n−2)×180°)。外角については、「凹」では負または再入外角があり、正しく符号を考慮すれば 360° に和します。ほとんどの学校の問題は凸多角形を使用します。
星型多角形はどうですか？ 星型多角形 (五芒星など) は異なるルールに従います — 上記の公式は単純な凸/凹多角形のみです。
ラジアンを使用できますか？ はい。180° を π に置き換えます。和 = (n − 2)π、外角の和 = 2π。ほとんどの学校の仕事は