Todo polígono — triângulo, quadrilátero, pentágono, hexágono, e assim por diante até um 100-gono — possui fórmulas de ângulos previsíveis baseadas no número de lados. Duas fatos para lembrar e você pode resolver todo problema de ângulo de polígono já proposto:
| Fórmula | Equação | Usar Quando |
|---|---|---|
| Soma dos ângulos interiores | S = (n − 2) × 180° | Qualquer polígono, regular ou não |
| Cada ângulo interior (apenas regular) | a = (n − 2) × 180° / n | Todos os lados + ângulos iguais |
| Soma dos ângulos exteriores | 360° (sempre) | Qualquer polígono convexo |
| Cada ângulo exterior (apenas regular) | e = 360° / n | Todos os lados iguais |
Identidade bônus: em qualquer vértice, interior + exterior = 180° (eles são suplementares).
Escolha qualquer polígono e desenhe todas as diagonais de um vértice. Você sempre o dividirá em exatamente n − 2 triângulos. Cada triângulo tem três ângulos que somam 180°, e juntos seus ângulos preenchem todo o polígono. Então:
Soma de ângulos do polígono = (n − 2) triângulos × 180° por triângulo = (n − 2) × 180°
Esta é a derivação de geometria mais importante para entender — uma vez que você veja o PORQUÊ, você nunca esquecerá a fórmula.
| n (lados) | Nome | Soma interior | Cada interior (regular) | Cada exterior (regular) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | Triângulo | 180° | 60° | 120° |
| 4 | Quadrilátero | 360° | 90° | 90° |
| 5 | Pentágono | 540° | 108° | 72° |
| 6 | Hexágono | 720° | 120° | 60° |
| 7 | Heptágono | 900° | ≈ 128.57° | ≈ 51.43° |
| 8 | Octógono | 1080° | 135° | 45° |
| 9 | Nonágono | 1260° | 140° | 40° |
| 10 | Decágono | 1440° | 144° | 36° |
| 11 | Hendecágono | 1620° | ≈ 147.27° | ≈ 32.73° |
| 12 | Dodecágono | 1800° | 150° | 30° |
Se você souber a soma dos ângulos interiores S, o número de lados é:
n = S / 180° + 2
Exemplo: S = 1980° → n = 1980/180 + 2 = 11 + 2 = 13 lados (tridecágono).
Para um polígono regular: a = (n − 2) × 180° / n. Resolva para n:
n = 360° / (180° − a)
Exemplo: cada ângulo interior é 162°. n = 360 / (180 − 162) = 360 / 18 = 20 lados (icoságono).
Pentágono com 4 ângulos conhecidos (110°, 95°, 130°, 105°). Soma = (5 − 2) × 180° = 540°. Ângulo faltante = 540° − (110 + 95 + 130 + 105) = 540° − 440° = 100°.
"Cada ângulo interior de um polígono regular é 144°. Quantos lados?" Use n = 360/(180 − 144) = 360/36 = 10 lados (decágono).
"Em um hexágono, quatro ângulos são 120° cada. Os dois restantes são iguais. Encontre-os." Soma = 720°. Conhecidos = 4 × 120 = 480°. Os dois restantes somam 720 − 480 = 240°. Cada = 120°.
Imagine caminhando ao redor do polígono. Em cada vértice você vira pelo ângulo exterior. Após completar o loop, você virou um total de 360°. Isso é verdade para QUALQUER polígono convexo — n pode ser 3, 100 ou 1000, o giro total é sempre 360°.
Isso torna a fórmula do ângulo exterior por vértice trivialmente e = 360°/n para polígonos regulares.
Para uma ferramenta interativa, use nossa Calculadora de Soma de Ângulos de Polígono — insira n e obtenha todos os quatro valores de uma vez. Para encontrar n a partir de uma soma ou ângulo conhecido, experimente nossa Calculadora de Lados de Polígono.
Essas fórmulas funcionam para polígonos côncavos? Sim para a soma interior (ainda (n−2)×180°). Para ângulos exteriores, "côncavo" pode ter ângulos exteriores negativos ou reflexos que ainda somam 360° se você considerar o sinal corretamente. A maioria dos problemas escolares usa polígonos convexos.
E quanto a polígonos estrela? Polígonos estrela (pentagrama, etc.) seguem regras diferentes — a fórmula acima é para polígonos simples convexos/côncavos apenas.
Posso usar radianos? Sim. Substitua 180° por π. Soma = (n − 2)π, soma exterior = 2π. A maioria do trabalho escolar us