Tout polygone — triangle, quadrilatère, pentagone, hexagone, jusqu'à un 100-gon — possède des formules d'angles prévisibles basées sur le nombre de côtés. Deux faits à retenir et vous pouvez résoudre tous les problèmes d'angles de polygones jamais posés :
| Formule | Équation | Utiliser Quand |
|---|---|---|
| Somme des angles intérieurs | S = (n − 2) × 180° | Tout polygone, régulier ou non |
| Chaque angle intérieur (régulier seulement) | a = (n − 2) × 180° / n | Tous les côtés + angles égaux |
| Somme des angles extérieurs | 360° (toujours) | Tout polygone convexe |
| Chaque angle extérieur (régulier seulement) | e = 360° / n | Tous les côtés égaux |
Identité bonus : à tout sommet, intérieur + extérieur = 180° (ils sont suppléments).
Choisissez n'importe quel polygone et tracez toutes les diagonales depuis un sommet. Vous le découperez toujours en exactement n − 2 triangles. Chaque triangle a trois angles sommant à 180°, et ensemble leurs angles remplissent tout le polygone. Donc :
Somme des angles du polygone = (n − 2) triangles × 180° par triangle = (n − 2) × 180°
C'est la dérivation géométrique la plus importante à comprendre — une fois que vous voyez POURQUOI, vous n'oublierez jamais la formule.
| n (côtés) | Nom | Somme intérieure | Chaque intérieur (régulier) | Chaque extérieur (régulier) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | Triangle | 180° | 60° | 120° |
| 4 | Quadrilatère | 360° | 90° | 90° |
| 5 | Pentagone | 540° | 108° | 72° |
| 6 | Hexagone | 720° | 120° | 60° |
| 7 | Heptagone | 900° | ≈ 128.57° | ≈ 51.43° |
| 8 | Octogone | 1080° | 135° | 45° |
| 9 | Nonagone | 1260° | 140° | 40° |
| 10 | Décagone | 1440° | 144° | 36° |
| 11 | Hendécagone | 1620° | ≈ 147.27° | ≈ 32.73° |
| 12 | Dodécagone | 1800° | 150° | 30° |
Si vous connaissez la somme des angles intérieurs S, le nombre de côtés est :
n = S / 180° + 2
Exemple : S = 1980° → n = 1980/180 + 2 = 11 + 2 = 13 côtés (tridécagone).
Pour un polygone régulier : a = (n − 2) × 180° / n. Résoudre pour n :
n = 360° / (180° − a)
Exemple : chaque angle intérieur est 162°. n = 360 / (180 − 162) = 360 / 18 = 20 côtés (icosagone).
Pentagone avec 4 angles connus (110°, 95°, 130°, 105°). Somme = (5 − 2) × 180° = 540°. Angle manquant = 540° − (110 + 95 + 130 + 105) = 540° − 440° = 100°.
"Chaque angle intérieur d'un polygone régulier est 144°. Combien de côtés ?" Utilisez n = 360/(180 − 144) = 360/36 = 10 côtés (décagone).
"Dans un hexagone, quatre angles sont 120° chacun. Les deux restants sont égaux. Trouvez-les." Somme = 720°. Connus = 4 × 120 = 480°. Les deux restants somment à 720 − 480 = 240°. Chacun = 120°.
Imaginez marcher autour du polygone. À chaque sommet, vous tournez de l'angle extérieur. Après avoir complété la boucle, vous avez tourné un plein 360°. Ceci est vrai pour TOUT polygone convexe — n pourrait être 3, 100, ou 1000, le tour total est toujours 360°.
Cela rend la formule d'angle extérieur par sommet trivialement e = 360°/n pour les polygones réguliers.
Pour un outil interactif, utilisez notre Calculateur de Somme des Angles des Polygones — entrez n et obtenez les quatre valeurs en une fois. Pour trouver n à partir d'une somme ou angle connu, essayez notre Calculateur de Côtés des Polygones.
Ces formules fonctionnent-elles pour les polygones concaves ? Oui pour la somme intérieure (toujours (n−2)×180°). Pour les angles extérieurs, "concave" peut avoir des angles extérieurs négatifs ou réflexes qui somment encore à 360° si vous tenez compte du signe correctement. La plupart des problèmes scolaires utilisent des polygones convexes.
Et les polygones en étoile ? Les polygones en étoile (pentagramme, etc.) suivent des règles différentes — la formule ci-dessus est pour les polygones simples convexes/concaves seulement.
Puis-je utiliser des radians ? Oui. Remplacez 180° par π. Somme = (n − 2)π, somme extérieure = 2π. La plupart des travaux scolaires us