Pythagoras-Rechner

Der Satz des Pythagoras ist die nützlichste Beziehung in der ebenen Geometrie: In jedem rechtwinkligen Dreieck entspricht die Summe der Quadrate der beiden Katheten dem Quadrat der Hypotenuse. Als Formel ausgedrückt: a² + b² = c², wobei a und b die Katheten (die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden) und c die Hypotenuse (die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite, immer die längste) sind. Dieses Tutorial behandelt, wie man den Satz verwendet, um jede fehlende Seite zu finden, die häufigsten pythagoreischen Tripel zu erkennen und den Satz im dreidimensionalen Raum sowie auf Koordinatenebenen anzuwenden.

Was der Satz aussagt — und warum er gilt

Der Satz des Pythagoras tritt als Proposition I.47 in Euklids Elementen (um 300 v. Chr.) auf, doch das Ergebnis war babylonischen Mathematikern bereits mehr als tausend Jahre zuvor bekannt — Tontafeln aus ca. 1800 v. Chr. listen Dutzende ganzzahlige pythagoreische Tripel auf (Mengen, bei denen a, b und c ganze Zahlen sind).

Der Satz gilt nur für rechtwinklige Dreiecke. Wenn Ihr Dreieck keinen 90°-Winkel hat, benötigen Sie den allgemeineren kosinussatz (der sich zu a² + b² = c² vereinfacht, wenn der eingeschlossene Winkel 90° beträgt, da cos 90° = 0 ist).

Einer der elegantesten geometrischen Beweise: Platzieren Sie vier Kopien des rechtwinkligen Dreiecks in einem Quadrat mit der Seitenlänge (a + b), so angeordnet, dass die Hypotenusen ein inneres Quadrat bilden. Das innere Quadrat hat die Fläche c². Das äußere Quadrat hat die Fläche (a + b)² = a² + 2ab + b². Subtrahiert man die vier Dreiecke (jeweils mit der Fläche ab/2, insgesamt 2ab) vom äußeren Quadrat, erhält man: c² = (a² + 2ab + b²) − 2ab = a² + b². q.e.d.

Drei Möglichkeiten zur Anwendung des Satzes

Je nachdem, welche Seite bekannt ist und welche gesucht wird, lässt sich die Formel umstellen:

• Hypotenuse finden (beide Katheten bekannt): c = √(a² + b²).
• Kathete a finden (Kathete b und Hypotenuse bekannt): a = √(c² − b²).
• Kathete b finden (Kathete a und Hypotenuse bekannt): b = √(c² − a²).

In den Formeln für die Katheten muss der Wert unter der Wurzel positiv sein. Erhält man jemals eine negative Zahl unter der Wurzel, wurde dem Taschenrechner ein unmögliches Dreieck eingegeben (eine Kathete ist länger als die Hypotenuse, was per Definition nicht möglich ist).

Beispiel 1 — Finden der Hypotenuse

Eingabe: a = 3, b = 4. Berechnung: c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. c = √25 = 5.

Dies ist das berühmteste aller Dreiecke: das 3-4-5-rechtwinklige Dreieck. Schreiner und Bauarbeiter verwenden es, um perfekte rechte Winkel anzulegen — misst man 3 Einheiten entlang einer Kante und 4 Einheiten senkrecht dazu, beträgt die Diagonale genau 5 Einheiten, nur wenn die Ecke wirklich rechtwinklig ist.

Beispiel 2 — Finden einer Kathete

Eingabe: c = 13, a = 5. Berechnung: b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144. b = √144 = 12.

Dies ist das 5-12-13-Dreieck — ein weiteres ganzzahliges Tripel. Beachten Sie, dass wir subtrahieren; die Kathetenformel ist die umgestellte Version des Satzes.

Pythagoreische Tripel — Mengen ganzzahliger Lösungen

Ein "pythagoreisches Tripel" ist eine Menge aus drei positiven ganzen Zahlen (a, b, c) mit a² + b² = c². Die ersten paar primitiven Tripel (bei denen ggT(a, b, c) = 1):

• 3-4-5 (das grundlegende)
• 5-12-13
• 8-15-17
• 7-24-25
• 20-21-29
• 9-40-41

Jedes Vielfache eines primitiven Tripels ist ebenfalls ein Tripel: 6-8-10 (= 2 × 3-4-5), 10-24-26 (= 2 × 5-12-13), 9-12-15 (= 3 × 3-4-5) und so weiter. Das Erkennen eines Tripels in einer Aufgabe ermöglicht es, den Schritt der Quadratwurzelbildung vollständig zu überspringen — wenn die Katheten 3 und 4 sind, weiß man ohne Berechnung, dass die Hypotenuse 5 ist.

Die Erweiterung in 3D

Der Satz des Pythagoras lässt sich natürlich auf drei Dimensionen erweitern. Besitzt ein Quader die Kantenlängen a, b und c, so beträgt die Länge der Raumdiagonalen d (von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke):

d = √(a² + b² + c²)

Beweis: Die Diagonale der Bodenfläche beträgt nach dem Standardtheorem √(a² + b²). Die Raumdiagonale ist dann die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten diese Flächendiagonale und die Höhe c sind. Wendet man den Satz erneut an: d² = (a² + b²) + c². Siehe den 3D-Satz-des-Pythagoras-Rechner für Probleme mit quaderförmigen Diagonalen.

Die Abstandsformel auf einer Koordinatenebene

Der Abstand zwischen zwei Punkten P₁ = (x₁, y₁) und P₂ = (x₂, y₂) ist ebenfalls eine direkte Anwendung des Satzes. Behandeln Sie die horizontale Differenz |x₂ − x₁| als eine Kathete und die vertikale Differenz |y₂ − y₁| als die andere Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse der Abstand ist:

Abstand = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Diese Formel bildet das gesamte Fundament der analytischen Geometrie. Jeder Abstand, jede Betragsgröße, jede euklidische Norm in beliebigen Dimensionen ist eine Verallgemeinerung von a² + b² = c².

Überprüfung, ob ein Dreieck rechtwinklig ist

Wenn alle drei Seitenlängen bekannt sind, wird der Satz zu einem Test: Setzen Sie die Werte ein und prüfen Sie, ob a² + b² = c² gilt (wobei c die längste Seite ist). Wenn ja, ist das Dreieck rechtwinklig. Wenn a² + b² > c², ist das Dreieck spitzwinklig (alle Winkel kleiner als 90°). Wenn a² + b² < c², ist das Dreieck stumpfwinklig (ein Winkel größer als 90°). Dies ist der Satz des Pythagoras in seiner Umkehrung.

Häufige Fehler

• Verwechslung der Hypotenuse mit einer Kathete. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite und liegt immer dem rechten Winkel gegenüber. Wenn eine Aufgabe besagt „die längste Seite ist 10“ und Sie 10 in ein Kathetenfeld einsetzen, sind alle Ergebnisse falsch.
• Vergessen der Quadratwurzel am Ende. Der Satz liefert c², nicht c. Um c zu erhalten, ziehen Sie nach der Summation der quadrierten Katheten die Quadratwurzel.
• Anwendung auf nicht-rechtwinklige Dreiecke. Wenn kein 90°-Winkel vorhanden ist, gilt a² + b² ≠ c² — stattdessen benötigen Sie den Kosinussatz.
• Vermischen von Einheiten. Alle drei Seiten müssen in derselben Einheit angegeben sein. Man kann keine Katheten in Zoll und eine Hypotenuse in Zentimetern haben.

Jenseits der Geometrie

Der Satz des Pythagoras reicht weit über die ebene Geometrie hinaus. Dieselbe Formel berechnet Vektorbeträge in der Physik (der Betrag eines Geschwindigkeitsvektors mit den Komponenten (vx, vy) ist √(vx² + vy²)), den Modulus komplexer Zahlen (|a + bi| = √(a² + b²)) und die euklidische Distanz in jeder Anzahl von Dimensionen. Sie ist auch der geometrische Ursprung der trigonometrischen Identität sin²θ + cos²θ = 1 (ein pythagoreisches Tripel auf dem Einheitskreis).