피타고라스 정리 계산기

피타고라스의 정리는 평면 기하학에서 가장 유용한 관계식입니다. 임의의 직각삼각형에서 두 변의 길이의 제곱의 합은 빗변의 길이의 제곱과 같습니다. 이를 공식으로 표현하면 a² + b² = c²이며, 여기서 a와 b는 직각을 이루는 두 변(밑변과 높이)이고 c는 직각에 대변하는 변(빗변, 항상 가장 긴 변)입니다. 이 튜토리얼에서는 누락된 변의 길이를 구하는 방법, 가장 일반적인 피타고라스 세 쌍을 인식하는 방법, 그리고 3차원 공간과 좌표평면에서 정리를 적용하는 방법을 다룹니다.

정리의 내용과 그 원리

피타고라스의 정리는 기원전 300년경 에우클레이데스의 원론(Elements)에서 제1권 명제 47로 등장하지만, 이 결과는 기원전 1800년경의 점토판에 기록된 바빌로니아 수학자들보다 천 년 이상 전에 이미 알려져 있었습니다. 이 점토판에는 a, b, c가 모두 정수인 수의 집합인 피타고라스 세 쌍이 수십 개 나열되어 있습니다.

이 정리는 직각삼각형에만 적용됩니다. 삼각형에 90° 각이 없다면 더 일반적인 코사인 법칙을 사용해야 합니다(포함된 각이 90°일 때 cos 90° = 0이므로 코사인 법칙은 a² + b² = c²로 단순화됩니다).

가장 깔끔한 기하학적 증명 중 하나는 직각삼각형 네 개를 한 변의 길이가 (a + b)인 정사각형 안에 배치하여 빗변들이 안쪽 정사각형을 이루도록 하는 것입니다. 안쪽 정사각형의 넓이는 c²입니다. 바깥쪽 정사각형의 넓이는 (a + b)² = a² + 2ab + b²입니다. 바깥쪽 정사각형에서 네 개의 삼각형(각 넓이가 ab/2, 총 넓이 2ab)을 빼면: c² = (a² + 2ab + b²) − 2ab = a² + b². 증명 끝.

정리를 사용하는 세 가지 방법

알고 있는 변과 구해야 할 변에 따라 공식을 다음과 같이 변형할 수 있습니다:

• 빗변 구하기 (두 변의 길이를 알 때): c = √(a² + b²).
• 변 a 구하기 (변 b와 빗변의 길이를 알 때): a = √(c² − b²).
• 변 b 구하기 (변 a와 빗변의 길이를 알 때): b = √(c² − a²).

변의 길이를 구하는 공식에서 제곱근 안의 값은 양수여야 합니다. 만약 계산기에서 제곱근 안의 값이 음수가 나온다면, 정의상 불가능한 삼각형(빗변보다 긴 변)을 입력했기 때문입니다.

예제 1 — 빗변 구하기

입력: a = 3, b = 4. 계산: c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. c = √25 = 5.

이것은 모든 삼각형 중 가장 유명한 3-4-5 직각삼각형입니다. 목수와 건축가들은 완벽한 직각을 잡기 위해 이를 사용합니다. 한 변을 따라 3단위, 수직 방향으로 4단위를 측정했을 때, 모서리가 정말로 직각이라면 대각선의 길이는 정확히 5단위가 됩니다.

예제 2 — 변의 길이 구하기

입력: c = 13, a = 5. 계산: b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144. b = √144 = 12.

이것은 5-12-13 삼각형으로, 또 다른 정수 세 쌍입니다. 뺄셈을 수행한다는 점에 주목하십시오. 변의 길이를 구하는 공식은 정리를 변형한 것입니다.

피타고라스 세 쌍 — 정수 해의 집합

"피타고라스 세 쌍"이란 a² + b² = c²를 만족하는 세 양의 정수 (a, b, c)의 집합을 말합니다. 처음 몇 개의 기약 피타고라스 세 쌍(여기서 gcd(a, b, c) = 1)은 다음과 같습니다:

• 3-4-5 (기본이 되는 세 쌍)
• 5-12-13
• 8-15-17
• 7-24-25
• 20-21-29
• 9-40-41

기약 피타고라스 세 쌍의 배수도 세 쌍이 됩니다: 6-8-10 (= 2 × 3-4-5), 10-24-26 (= 2 × 5-12-13), 9-12-15 (= 3 × 3-4-5) 등. 문제에서 세 쌍을 인식하면 제곱근 단계를 완전히 생략할 수 있습니다. 예를 들어 두 변의 길이가 3과 4라면 계산 없이도 빗변이 5임을 알 수 있습니다.

3차원 확장

피타고라스의 정리는 자연스럽게 3차원으로 확장됩니다. 모서리의 길이가 a, b, c인 직육면체가 있을 때, 한 모서리에서 반대편 모서리로 이어지는 공간 대각선 d의 길이는 다음과 같습니다:

d = √(a² + b² + c²)

증명: 바닥 면의 대각선은 일반 정리에 의해 √(a² + b²)입니다. 그런 다음 공간 대각선은 밑변이 그 면 대각선이고 높이가 c인 직각삼각형의 빗변이 됩니다. 정리를 다시 적용하면: d² = (a² + b²) + c². 직육면체 모양의 대각선 관련 문제는 3차원 피타고라스 정리 계산기를 참조하십시오.

좌표평면에서의 거리 공식

두 점 P₁ = (x₁, y₁)와 P₂ = (x₂, y₂) 사이의 거리 또한 이 정리의 직접적인 적용입니다. 수평 차이 |x₂ − x₁|를 하나의 변, 수직 차이 |y₂ − y₁|를 다른 변으로 보고, 빗변이 거리가 되는 직각삼각형을 구성합니다:

거리 = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

이 공식은 좌표기하학의 전체적인 기초입니다. 모든 거리, 모든 크기, 모든 차원의 유클리드 노름은 a² + b² = c²의 일반화입니다.

삼각형이 직각삼각형인지 확인하기

세 변의 길이를 모두 알고 있다면, 정리는 검증 도구가 됩니다. 세 변을 대입하여 a² + b² = c² (여기서 c는 가장 긴 변)가 성립하는지 확인합니다. 성립한다면 삼각형은 직각삼각형입니다. 만약 a² + b² > c²라면 예각삼각형(모든 각이 90° 미만)입니다. 만약 a² + b² < c²라면 둔각삼각형(90° 초과인 각이 하나 있음)입니다. 이를 피타고라스 정리의 역이라고 합니다.

흔한 실수

• 빗변과 변을 혼동하기. 빗변은 항상 가장 긴 변이며, 항상 직각에 대변합니다. 문제에서 "가장 긴 변이 10"이라고 했을 때, 이를 변의 자리에 넣으면 모든 답이 틀립니다.
• 마지막에 제곱근을 취하는 것을 잊기. 정리는 c²를 알려줄 뿐 c를 알려주지 않습니다. c를 얻으려면 제곱된 변들의 합을 취한 후 제곱근을 취해야 합니다.
• 비직각삼각형에 적용하려고 하기. 90° 각이 없다면 a² + b² ≠ c²입니다. 대신 코사인 법칙을 사용해야 합니다.
• 단위를 섞어 쓰기. 세 변은 모두 같은 단위를 사용해야 합니다. 변은 인치(inch) 단위이고 빗변은 센티미터(cm) 단위일 수는 없습니다.

기하학을 넘어

피타고라스의 정리는 평면 기하학을 훨씬 뛰어넘습니다. 동일한 공식은 물리학에서 벡터의 크기를 계산하는 데 사용됩니다(성분이 (vx, vy)인 속도 벡터의 크기는 √(vx² + vy²)), 복소수의 절댓값(|a + bi| = √(a² + b²))을 구하는 데에도 사용되며, 임의의 차원에서의 유클리드 거리를 계산합니다. 또한 삼각함수 항등식 sin²θ + cos²θ = 1의 기하학적 기원이기도 합니다(단위원 위의 피타고라스 세 쌍).