Teilpunkt-Formel-Rechner

Die Teilungsformel bestimmt den Punkt, der ein Streckenstück in einem gegebenen Verhältnis teilt. Sie verallgemeinert die Mittenformel — der Mittelpunkt ist der Spezialfall, bei dem das Verhältnis 1:1 beträgt. Die Teilungsformel hat zwei Versionen: innere Teilung (der Punkt liegt zwischen den beiden Endpunkten) und äußere Teilung (der Punkt liegt außerhalb des Streckenstücks auf dessen Verlängerung). Dieses Tutorial behandelt beide Fälle, leitet sie aus dem Prinzip ähnlicher Dreiecke ab und führt durchgerechnete Beispiele für jeden Fall durch.

Die Formel für die innere Teilung

Gegeben sind zwei Punkte P₁ = (x₁, y₁) und P₂ = (x₂, y₂). Der Punkt P, der die Strecke P₁P₂ innerlich im Verhältnis m:n teilt, ist:

P = ( (mx₂ + nx₁) / (m + n),   (my₂ + ny₁) / (m + n) )

Der Punkt P liegt ZWISCHEN P₁ und P₂. Das Verhältnis m:n bedeutet, dass P für jeweils n Einheiten Abstand zu P₂ m Einheiten Abstand zu P₁ hat. (Wenn also m > n ist, liegt P näher an P₂; wenn m < n ist, liegt P näher an P₁.)

Sonderfall — der Mittelpunkt

Setzt man m = n = 1, ergibt sich:

P = ( (1·x₂ + 1·x₁) / 2, (1·y₂ + 1·y₁) / 2 ) = ( (x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2 )

Dies ist die Mittenformel. Der Mittelpunkt teilt die Strecke im Verhältnis 1:1 — er hat von beiden Endpunkten den gleichen Abstand.

Herkunft der Formel

Die Formel für die innere Teilung folgt aus ähnlichen Dreiecken. Stellen Sie sich die Strecke P₁P₂ in einem Koordinatensystem vor. Fällen Sie Lote von P₁, P und P₂ auf die x-Achse. Die drei resultierenden horizontalen Positionen sind x₁, x_P und x₂.

Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke entspricht das Verhältnis der horizontalen Positionen dem Verhältnis, in dem P die Strecke teilt:

(x_P − x₁) / (x₂ − x_P) = m / n

Kreuzmultiplikation: n(x_P − x₁) = m(x₂ − x_P)
n · x_P − n · x₁ = m · x₂ − m · x_P
x_P (m + n) = m · x₂ + n · x₁
x_P = (m · x₂ + n · x₁) / (m + n)

Die gleiche Logik gilt für y_P. Zusammengefasst ergibt dies die Teilungsformel.

Äußere Teilung

Wenn P auf der GERADEN durch P₁ und P₂ liegt, aber AUẞERHALB des Streckenstücks (jenseits eines der Endpunkte), sagt man, P teilt die Strecke äußerlich im Verhältnis m:n.

Die Formel ist ähnlich, jedoch mit einem Vorzeichenwechsel:

P_ext = ( (mx₂ − nx₁) / (m − n),   (my₂ − ny₁) / (m − n) )

Gleiche Struktur, aber Subtraktion statt Addition sowohl im Zähler als auch im Nenner.

Äquivalenter Trick: Äußere Teilung im Verhältnis m:n entspricht innerer Teilung im Verhältnis m:(−n) oder äquivalent im Verhältnis (−m):n. Unser Taschenrechner unterstützt beide Varianten — geben Sie für die äußere Teilung n als negativen Wert ein.

Durchgerechnetes Beispiel 1 — innere Teilung

Bestimmen Sie den Punkt, der die Strecke von P₁ = (1, 2) bis P₂ = (7, 8) innerlich im Verhältnis 2:1 teilt.

m = 2, n = 1, m + n = 3.

x_P = (2 · 7 + 1 · 1) / 3 = (14 + 1) / 3 = 15/3 = 5
y_P = (2 · 8 + 1 · 2) / 3 = (16 + 2) / 3 = 18/3 = 6

P = (5, 6). Überprüfung: Der Abstand von (1,2) zu (5,6) ist √(16+16) = √32 ≈ 5,66. Der Abstand von (5,6) zu (7,8) ist √(4+4) = √8 ≈ 2,83. Das Verhältnis beträgt 5,66 : 2,83 ≈ 2 : 1. ✓

Durchgerechnetes Beispiel 2 — Mittelpunkt über die Teilungsformel

Bestimmen Sie den Mittelpunkt von P₁ = (2, −3) und P₂ = (8, 5). Verwenden Sie die Teilungsformel mit m = n = 1:

x_M = (1 · 8 + 1 · 2) / 2 = 10/2 = 5
y_M = (1 · 5 + 1 · (−3)) / 2 = 2/2 = 1

M = (5, 1). Gleiches Ergebnis wie mit der Standard-Mittenformel.

Durchgerechnetes Beispiel 3 — äußere Teilung

Bestimmen Sie den Punkt, der P₁ = (1, 2) und P₂ = (4, 5) äußerlich im Verhältnis 3:2 teilt.

x_P = (3 · 4 − 2 · 1) / (3 − 2) = (12 − 2) / 1 = 10
y_P = (3 · 5 − 2 · 2) / (3 − 2) = (15 − 4) / 1 = 11

P = (10, 11). Dieser Punkt liegt auf der Geraden durch P₁ und P₂, jenseits von P₂ (Verlängerung der Strecke).

Erweiterung in 3D

Genau wie die Mittenformel lässt sich die Teilungsformel auf drei Dimensionen erweitern, indem ein z-Koordinaten-Term hinzugefügt wird:

P = ((mx₂ + nx₁)/(m+n), (my₂ + ny₁)/(m+n), (mz₂ + nz₁)/(m+n))

Jede Komponente (x, y, z) wird im selben Verhältnis geteilt.

Schwerpunkt eines Dreiecks — eine Anwendung der Teilungsformel

Der Schwerpunkt (Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden) eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C befindet sich bei:

Schwerpunkt = ((x_A + x_B + x_C)/3, (y_A + y_B + y_C)/3)

Dies entspricht einer 2:1-Teilung jeder Seitenhalbierenden. Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende (von einem Eckpunkt zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite) im Verhältnis 2:1 vom Eckpunkt aus gemessen. Wendet man die Teilungsformel auf (Eckpunkt) : (Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite) mit dem Verhältnis 2:1 an, erhält man den oben genannten Schwerpunkt.

Die Form mit der 1/3-Durchschnittsbildung ist die Vereinfachung, die sich ergibt, wenn man die Teilungsformel für diesen Spezialfall ausrechnet.

Praktische Anwendungen

• Vermessung und Kartografie. Lokalisierung eines Punktes auf einer Linie in einem bestimmten Bruchteil des Weges zwischen zwei bekannten Punkten.
• Computergrafik. Interpolation bei Animationen: Die Position zur Zeit t entlang eines Pfades P₁ → P₂ ist der Abschnitt im Verhältnis t : (1−t), oft geschrieben als P(t) = (1−t)P₁ + tP₂. Dasselbe Prinzip wie bei der Teilungsformel.
• Physik — Schwerpunkt. Der Schwerpunkt zweier Massen m₁ bei P₁ und m₂ bei P₂ liegt am Abschnitt von P₁P₂ im Verhältnis m₂ : m₁ (die schwerere Masse zieht den Schwerpunkt näher zu sich).
• Architektur. Unterteilung eines Balkens, einer Säule oder einer Fassade in proportionale Positionen aus ästhetischen oder statischen Gründen (der goldene Schnitt φ ≈ 1,618 ist ein berühmtes Beispiel).

Häufige Fehler

• Vertauschen von m und n in der Formel. In der Formel für die innere Teilung multipliziert m x₂ und n multipliziert x₁ — das heißt, m entspricht dem FERNEN Punkt. Ein Vertauschen ergibt einen anderen Punkt.
• Verwechslung von innerer und äußerer Teilung. Bei der inneren Teilung liegt P zwischen P₁ und P₂. Bei der äußeren Teilung liegt P außerhalb. Prüfen Sie, ob Ihre Aufgabe „innerlich“ oder „äußerlich“ sagt oder dies aus dem Kontext erschließt.
• Vergessen, das Verhältnis zu kürzen. Der Punkt, der im Verhältnis 4:6 teilt, ist derselbe wie der Punkt, der im Verhältnis 2:3 teilt. Das Kürzen liefert dasselbe Ergebnis, jedoch mit kleineren Zahlen.
• Anwendung der Formel auf nicht-kollineare Punkte. Die Teilungsformel erzeugt immer einen Punkt auf der Geraden durch P₁ und P₂ — wenn Sie einen Punkt suchen, der nicht auf dieser Geraden liegt, ist die Teilungsformel das falsche Werkzeug.