Fórmula da secção de segmento

Q: Qual é a fórmula da seção?

A fórmula da seção encontra as coordenadas de um ponto P que divide um segmento de reta AB na razão m:n. Para divisão interna: P = ((m·x₂ + n·x₁)/(m+n), (m·y₂ + n·y₁)/(m+n)). A fórmula do ponto médio é o caso especial m = n = 1.

Q: O que é divisão interna versus externa?

A divisão interna coloca P entre A e B (m e n ambos positivos). A divisão externa coloca P fora do segmento, na extensão de AB. Para externa, a fórmula usa subtração: P = ((m·x₂ − n·x₁)/(m−n), …).

Q: Como encontro o baricentro de um triângulo?

O baricentro G é a média dos três vértices: G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3). Ele divide cada mediana na razão 2:1 medida a partir do vértice, o que a fórmula da seção confirma.

Q: A fórmula da seção pode encontrar a razão dado o ponto?

Sim — reorganize para k = AP/PB = (x − x₁)/(x₂ − x). A mesma fórmula funciona para a coordenada y; ambas devem dar o mesmo k se P realmente estiver no segmento AB.

Q: Funciona em 3D?

Sim — basta adicionar a coordenada z usando a mesma lógica: P_z = (m·z₂ + n·z₁)/(m+n). Todo o resto idêntico.

Encontrar o ponto que divide um segmento numa razão dada m:n

Revisado por [email protected], Geometry Calculator Developer & Online Math Educator Última atualização May 12, 2026

A fórmula da seção fornece as coordenadas de um ponto que divide um segmento de reta AB em uma razão específica m:n. A divisão interna coloca o ponto entre A e B; a divisão externa o coloca fora do segmento, no prolongamento de AB. A fórmula do ponto médio é apenas o caso especial m = n = 1.

As fórmulas

Nome	Fórmula	Notas
Divisão Interna (2D)	`P = ((m·x₂ + n·x₁) / (m + n), (m·y₂ + n·y₁) / (m + n))`	P divide A(x₁, y₁) → B(x₂, y₂) internamente na razão m:n. P está entre A e B.
Divisão Externa (2D)	`P = ((m·x₂ − n·x₁) / (m − n), (m·y₂ − n·y₁) / (m − n))`	P está no prolongamento de AB além de B (ou além de A se m < n). m ≠ n.
Fórmula do ponto médio	`M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)`	Caso especial m = n = 1 da fórmula da seção interna.
Baricentro do Triângulo	`G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)`	O baricentro divide cada mediana na razão 2:1. Média dos três vértices.
Fórmula da Seção (3D)	`P = ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n), (mz₂+nz₁)/(m+n))`	Mesma lógica em três dimensões — adicione a coordenada z.
Razão a partir das Coordenadas	`k = AP / PB = (x − x₁) / (x₂ − x)`	Inverso: dado o ponto divisor, encontre a razão. A mesma fórmula funciona para y.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: Divisão interna de A(2, 3) e B(8, 9) na razão 2:1

x = (2·8 + 1·2) / (2 + 1) = 18 / 3 = 6
y = (2·9 + 1·3) / (2 + 1) = 21 / 3 = 7
P = (6, 7)

Exemplo 2: Divisão externa de A(1, 2) e B(4, 8) na razão 3:1

x = (3·4 − 1·1) / (3 − 1) = 11 / 2 = 5.5
y = (3·8 − 1·2) / (3 − 1) = 22 / 2 = 11
P = (5.5, 11) — on AB extended beyond B

Exemplo 3: Ponto médio de A(−2, 4) e B(6, −2)

M = ((−2 + 6)/2, (4 + (−2))/2)
M = (4/2, 2/2) = (2, 1)

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula da seção?