수직 이등분선 계산기

수직이등분선은 선분의 중점에서 수직(90°)으로 교차하는 직선입니다. 기하학에서 가장 중요한 작도 중 하나인 이 선은 선분의 두 끝점에서 등거리에 있는 모든 점으로 이루어진 유일한 직선입니다. 선분 이등분선 계산기는 두 끝점의 좌표를 입력받아 수직이등분선의 방정식을 구합니다. 이 튜토리얼에서는 수직이등분선이 특별한 이유, 방정식 유도 과정, 그리고 삼각형 기하학(외심, 수직이등분선 정리)에서의 광범위한 역할에 대해 설명합니다.

두 가지 정의적 성질

직선이 선분 AB의 수직이등분선이 되려면 다음 두 조건이 모두 충족되어야 합니다:

1. AB의 중점을 지난다.
2. AB와 수직(90°)이다.

단 하나의 성질만으로는 부족합니다. 중점을 지나지만 수직이지 않은 직선은 단순히 '이등분선'일 뿐이며(수직이등분선이 아님), 중점을 지나지 않고 수직인 직선은 단순히 '수직선'일 뿐입니다(이등분선이 아님). 수직이등분선은 이 두 조건을 모두 만족하는 유일한 직선입니다.

등거리 성질

수직이등분선은 놀라운 성질, 즉 자취(locus) 정의를 가집니다:

점 P가 선분 AB의 수직이등분선 위에 있을 필요충분조건은 P가 A와 B로부터 같은 거리에 있다는 것입니다.

이는 수직이등분선 정리입니다. 이는 다음을 의미합니다:

• 수직이등분선 위의 모든 점은 두 끝점에서 등거리에 있습니다.
• 역으로, A와 B에서 등거리에 있는 모든 점은 수직이등분선 위에 있습니다.

기하학적으로: 수직이등분선은 A와 B에서 같은 거리에 있는 모든 점의 집합입니다. 이러한 자취 특성이 수직이등분선을 거리 기반 작도에 널리 등장하게 만듭니다.

풀이 예시 — 수직이등분선 구하기

A = (2, 1)에서 B = (8, 5)까지의 선분에 대한 수직이등분선을 구하십시오.

단계 1: 중점 찾기.

M = ((2 + 8) / 2, (1 + 5) / 2) = (5, 3).

단계 2: AB의 기울기 찾기.

m_AB = (5 − 1) / (8 − 2) = 4 / 6 = 2/3.

단계 3: 수직 기울기를 위해 음의 역수를 취하기.

m_perp = −1 / (2/3) = −3/2.

단계 4: 점기울꼴 방정식으로 식 쓰기.

y − 3 = (−3/2)(x − 5)

기울기-절편꼴로 표현하면: y = (−3/2)x + 15/2 + 3 = y = (−3/2)x + 10.5.

검증 — 등거리 확인

수직이등분선 위의 점을 하나 선택합니다 — 예를 들어 (5, 3)(중점). A까지의 거리 = √((5−2)² + (3−1)²) = √13. B까지의 거리 = √((5−8)² + (3−5)²) = √13. 같습니다. ✓

다른 점을 시도해 봅시다. 이등분선 방정식에 따라 x = 1일 때: y = −1.5 + 10.5 = 9. (1, 9)에서 A까지의 거리 = √(1 + 64) = √65. B까지의 거리 = √(49 + 16) = √65. 같습니다. ✓

외심(Circumcenter)

네 가지 고전적인 '삼각형 중심' 중 하나인 외심은 삼각형 세 변의 수직이등분선이 만나는 점입니다. 이는 외접원의 중심이자 세 꼭짓점을 모두 지나는 유일한 원의 중심입니다.

세 선이 한 점에서 만나는 이유: 각 수직이등분선은 삼각형의 두 꼭짓점에서 등거리에 있는 점들의 자취입니다. 변 AB의 이등분선과 변 BC의 이등분선이 만나는 점은 A, B, C 모두에서 등거리이므로 변 CA의 이등분선 위에도 위치합니다. 따라서 세 선은 한 점에서 만납니다.

외심에서 각 꼭짓점까지의 거리는 외접반지름 R과 같습니다. 둔각삼각형의 경우 외심은 삼각형 밖에 위치합니다.

컴퍼스자와 작도

수직이등분선은 컴퍼스와 자를 사용한 기본 작도 중 하나입니다:

1. 컴퍼스를 선분 길이의 절반보다 큰 임의의 반지름으로 엽니다.
2. 컴퍼스의 바늘을 한 끝점에 맞추고, 선분의 양쪽에 호를 그립니다.
3. 컴퍼스의 너비를 변경하지 않고 다른 끝점에 바늘을 맞추어 양쪽에 호를 그립니다. 이 호들은 두 점에서 교차합니다(선분 위쪽과 아래쪽 각각 한 점씩).
4. 자를 사용하여 이 두 교차점을 연결합니다. 이것이 수직이등분선입니다.

작동이 옳은 이유: 컴퍼스 설정에 의해 두 교차점은 두 끝점에서 모두 등거리입니다(각 점은 동일한 반지름의 두 호와 교차함). 수직이등분선 정리에 따라, 이 등거리 점들은 수직이등분선 위에 있으므로, 이들을 지나는 직선은 바로 이등분선입니다.

수직 기울기 공식

기울기가 m₁과 m₂인 두 직선은 다음 조건이 참일 때 수직입니다:

m₁ × m₂ = −1

(동치적으로, m₂ = −1/m₁ — '음의 역수').

특수 사례:

• 수평 선분(기울기 0): 수직 기울기는 정의되지 않음 → 이등분선은 수직선입니다.
• 수직 선분(기울기 정의되지 않음): 수직 기울기는 0 → 이등분선은 수평선입니다.
• 기울기 1: 수직 기울기는 −1입니다.

실생활 응용

• 등거리 시설물 위치 선정. 새로운 소방서는 기존 두 소방서에서 등거리에 있어야 합니다 — 두 소방서를 연결한 선분의 수직이등분선 위에 위치시킵니다.
• 조정 / 공정성 문제. 두 경계선에서 등거리로 토지 경계를 나누는 것은 수직이등분선 개념을 사용합니다.
• 컴퓨터 그래픽. 보로노이 다이어그램은 '씨앗(seed)' 점들까지의 거리에 따라 평면을 분할하며, 보로노이 셀 간의 경계는 씨앗 점들 사이의 수직이등분선입니다.
• GPS 삼각측량. 알려진 점들까지의 거리로부터 위치를 특정하는 것은 수직이등분선의 교점을 사용합니다.

흔한 실수

• 음의 역수가 아닌 원래 기울기를 사용함. 수직이등분선의 기울기는 선분의 기울기의 음의 역수여야 하며, 같지 않습니다.
• 중점을 지난다는 사실을 잊음. AB에 수직이지만 중점을 지나지 않는 직선은 '수직이등분선'이 아닙니다 — 단순한 수직선일 뿐입니다. 두 조건 모두 중요합니다.
• 수직이등분선과 각이등분선을 혼동함. 서로 다릅니다: 수직이등분선은 선분에 적용되며, 각이등분선은 각을 두 개의 동일한 부분으로 나눕니다.
• 수직 선분의 '음의 역수'를 정의되지 않음으로 처리함. 수직 선분의 기울기는 정의되지 않지만, 이에 수직인 선분의 기울기는 0(수평)입니다. 공식을 사용하기보다 특수 사례 규칙을 사용하십시오.