SOHCAHTOA ist die Eselsbrücke, die die gesamte Trigonometrie rechtwinkliger Dreiecke erschließt. Die sechs Buchstaben stehen für die Definitionen der drei primären trigonometrischen Verhältnisse:
Diese Anleitung erklärt die geometrische Bedeutung jedes Verhältnisses, zeigt, wie man die "Gegenkathete" und "Ankathete" in Bezug auf einen gegebenen Winkel identifiziert, und geht durch genügend Beispiele, damit Sie jedes trigonometrische Problem im rechtwinkligen Dreieck sicher lösen können.
Trigonometrische Verhältnisse beginnen immer mit einem rechtwinkligen Dreieck (ein 90°-Winkel) plus der Wahl, auf welchen spitzen Winkel (einer der anderen beiden, kleiner als 90°) Sie sich konzentrieren möchten. Nennen wir diesen Fokuswinkel θ (theta).
In Bezug auf θ haben die drei Seiten des Dreiecks Namen:
Wenn Sie den Fokus auf den anderen spitzen Winkel wechseln, tauschen "Gegenkathete" und "Ankathete" ihre Plätze. Die Hypotenuse bleibt gleich.
Für den gewählten Winkel θ gilt:
sin(θ) = Gegenkathete / Hypotenuse
cos(θ) = Ankathete / Hypotenuse
tan(θ) = Gegenkathete / Ankathete
Die Werte, die diese Verhältnisse ergeben, hängen NUR vom Winkel θ ab, nicht von der Größe des Dreiecks. Zwei Dreiecke mit demselben θ, aber unterschiedlichen Maßstab haben dieselben sin/cos/tan-Werte für diesen Winkel. Das macht trigonometrische Verhältnisse universell – sie ermöglichen es, zwischen Winkeln und Seitenverhältnissen in jedem rechtwinkligen Dreieck umzurechnen.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Hypotenuse von 10 und einen spitzen Winkel von 30°. Finden Sie die Seite gegenüber dem 30°-Winkel.
Verwenden Sie SOH (Sinus):
sin(30°) = Gegenkathete / 10
0.5 = Gegenkathete / 10
Gegenkathete = 5
Die Gegenkathete ist 5.
(Wir wissen, dass sin(30°) genau 0.5 ist, weil in einem 30-60-90-Dreieck das Verhältnis Gegenkathete/Hypotenuse für den 30°-Winkel 1/2 beträgt.)
Ein rechtwinkliges Dreieck hat relativ zu dem gesuchten Winkel eine Gegenkathete von 4 und eine Ankathete von 3.
Verwenden Sie TOA (Tangens):
tan(θ) = 4 / 3 ≈ 1.333
θ = arctan(1.333) ≈ 53.13°
Dies ist ein bekanntes Dreieck: das 3-4-5 rechtwinklige Dreieck. Seine Nicht-90°-Winkel sind ungefähr 36.87° (gegenüber der 3er-Seite) und 53.13° (gegenüber der 4er-Seite).
Die Wahl hängt davon ab, welche Seiten und Winkel bekannt sind:
| Gegeben ist | Gesucht ist | Verwende |
|---|---|---|
| θ + Hypotenuse | Gegenkathete | sin |
| θ + Hypotenuse | Ankathete | cos |
| θ + Gegenkathete | Ankathete | tan (umstellen) |
| Gegenkathete + Ankathete | θ | arctan (tan⁻¹) |
| Gegenkathete + Hypotenuse | θ | arcsin (sin⁻¹) |
| Ankathete + Hypotenuse | θ | arccos (cos⁻¹) |
Diese Tabelle auswendig zu lernen ist übertrieben. Die schnellere Herangehensweise: Identifizieren Sie, welche zwei der Größen {Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse} im Problem vorkommen, und wählen Sie dann das Verhältnis, das genau diese zwei verwendet.
Für 30°, 45° und 60° sind die sin/cos/tan-Werte exakt und es lohnt sie sich zu merken:
| θ | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | nicht definiert |
Diese exakten Werte stammen direkt von den 30-60-90 und 45-45-90 besonderen rechtwinkligen Dreiecken. Die Seite „Special Right Triangles Calculator" leitet sie im Detail her.
Wenn Sie einen sin/cos/tan-Wert kennen und den Winkel rekonstruieren möchten, verwenden Sie die inversen Funktionen:
Auf einem Taschenrechner sind diese normalerweise als sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ beschriftet (oft die Kombination SHIFT + sin / cos / tan). Stellen Sie sicher, dass Ihr Taschenrechner für Arbeiten mit rechtwinkligen Dreiecken im Grad-Modus steht – der Bogenmaß-Modus liefert für dieselbe Eingabe andere numerische Ergebnisse.
SOHCAHTOA definiert sin/cos/tan nur für spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck. Die Definition über den Einheitskreis verallgemeinert diese Funktionen auf alle reellen Zahlen, einschließlich negativer Winkel und Winkel größer als 90°. Aber für fast alle einführende Geometrie- und Trigonometrie-Hausaufgaben ist SOHCAHTOA die Grundlage.
Der Dreiecksrechner wendet SOHCAHTOA, das Sinusgesetz und den Kosinussatz automatisch an. Geben Sie beliebige drei Werte ein (mit mindestens einer Seite) und er leitet den Rest mit vollständiger schrittweiser Arbeit her. Für spezielle SOHCAHTOA-Übungsaufgaben behandelt der Satz des Pythagoras Rechner rechtwinklige Dreiecksaufgaben und der Rechner für besondere rechtwinklige Dreiecke arbeitet mit den 30-60-90 und 45-45-90 exakten Wert-Dreiecken, wo SOHCAHTOA sich dramatisch vereinfacht.
Wie merke ich mir, welches Sinus und welches Cosinus ist? Manche Schüler merken sich „Sinus = Gegenkathete", indem sie bemerken, dass „Sinus" und „Gegenkathete" beide das Muster „o" + „i" haben. Andere verwenden einfach direkt die SOHCAHTOA-Eselsbrücke. Was auch immer für Sie funktioniert, ist in Ordnung.
Was bedeutet sin(90°) = 1 physikalisch? Wenn der Fokuswinkel 90° ist, wäre die „Gegenkathete" die Hypotenuse selbst – also ist Gegenkathete/Hypotenuse = 1. Der Sinus des rechten Winkels ist 1. Ebenso ist cos(90°) = 0, weil die „Ankathete" auf eine Länge von Null geschrumpft ist.
Warum gibt es alle sechs „tri"-Funktionen (sin, cos, tan, csc, sec, cot)? Die letzten drei sind Kehrwerte: csc = 1/sin, sec = 1/cos, cot = 1/tan. Sie sind in einführenden Arbeiten weniger gebräuchlich, erscheinen aber in der Analysis und bei fortgeschrittenen trigonometrischen Identitäten.