Dreiecksungleichung-Rechner

Der Dreiecksungleichung ist eine der grundlegendsten Aussagen der ebenen Geometrie: die Summe beliebiger zweier Seiten eines Dreiecks muss strikt größer als die dritte Seite sein. Äquivalent dazu darf keine Seite länger sein (oder gleich lang sein) wie die Summe der anderen beiden. Dieses Tutorial beweist den Satz, erklärt, warum das "strikt größer" wichtig ist, führt vor, wie man jede beliebige Menge von drei Längen testet und zeigt, wie sich dieselbe Ungleichung auf Vektornormen und metrische Räume verallgemeinert.

Der Satz in drei Formulierungen

Für ein beliebiges Dreieck mit den Seiten a, b, c müssen alle folgenden drei Bedingungen erfüllt sein:

a + b > c
a + c > b
b + c > a

Aquivalente kompakte Formulierung: Die längste Seite muss kleiner sein als die Summe der anderen beiden.

Die strenge Ungleichung ist entscheidend. Wenn a + b = c exakt gilt, kollabiert das "Dreieck" zu einem einzigen Liniensegment — die drei Punkte sind kollinear. Dieser entartete Fall ist kein Dreieck.

Warum der Satz wahr ist — geometrische Intuition

Stellen Sie sich vor, Sie bauen ein Dreieck, indem Sie drei Stäbe aneinandersetzen und versuchen, sie zu einer Schleife zu schließen. Nehmen wir an, die Stäbe haben die Längen a = 3, b = 4, c = 10.

Legen Sie c flach auf den Boden. Klappen Sie vom einen Ende her den Stab a nach oben. Vom anderen Ende von c her klappen Sie den Stab b nach oben. Versuchen Sie nun, die freien Enden von a und b zusammenzuführen.

Wie weit kann a maximal von seiner Basis aus reichen? 3 Einheiten hoch (wenn er senkrecht steht). Wie weit kann b maximal von seiner Basis aus reichen? 4 Einheiten hoch. Die beiden Basen sind 10 Einheiten voneinander entfernt. Selbst wenn beide Stäbe senkrecht nach oben zeigen, sind ihre freien Enden horizontal 10 Einheiten voneinander entfernt — sie können sich nicht treffen. Fazit: Es existiert kein Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 10.

Ersetzen wir c = 10 durch c = 6, so sind die Basen nun 6 Einheiten voneinander entfernt. Der Stab a (Länge 3) kann höchstens 3 Einheiten überbrücken. Also muss a + b = 7 größer sein als c = 6 — und da 7 > 6, funktioniert es. Die beiden freien Enden können sich an einem Punkt oberhalb der Linie treffen und so das Dreieck bilden.

Formaler Beweis — unter Verwendung des Kürzeste-Weg-Prinzips

Der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten ist die gerade Verbindungslinie. Jeder andere Weg ist strikt länger.

Angenommen, ein Dreieck hat die Eckpunkte A, B, C, wobei die gegenüberliegenden Seiten jeweils mit a, b, c bezeichnet sind. Der direkte Weg von A nach B (Länge c) ist kürzer als der Weg von A über C nach B (Länge b + a). Daher gilt c < b + a, also a + b > c.

Wendet man dasselbe Argument auf die anderen beiden Paare von Eckpunkten an, erhält man a + c > b und b + c > a.

Drei Zahlen testen

Um zu prüfen, ob (a, b, c) ein Dreieck bilden kann, genügt es, die längste Seite zu testen. Ist die längste Seite kleiner als die Summe der anderen beiden, ist das Dreieck gültig. Ist sie gleich groß oder größer, existiert kein Dreieck.

Beispieltests:

• (3, 4, 5): längste Seite = 5. Summe der anderen beiden = 7. 5 < 7 ✓ — gültiges Dreieck (das berühmte 3-4-5-Rechtwinkeldreieck).
• (5, 7, 12): längste Seite = 12. Summe der anderen beiden = 12. 12 ≥ 12 ✗ — entartet (eine gerade Linie).
• (2, 3, 6): längste Seite = 6. Summe der anderen beiden = 5. 6 > 5 ✗ — unmöglich.
• (1, 1, 1): längste Seite = 1. Summe der anderen beiden = 2. 1 < 2 ✓ — gültig (gleichseitiges Dreieck).

Bereich der dritten Seite bei Kenntnis zweier Seiten

Die Kenntnis zweier Seiten schränkt die dritte ein. Sind a und b gegeben, muss für die dritte Seite c gelten:

|a − b| < c < a + b

Die obere Schranke ergibt sich aus der Dreiecksungleichung. Die untere Schranke ist dieselbe Ungleichung, angewendet auf eine andere Paarung: Wäre c kleiner oder gleich |a − b|, würde die längere der Seiten a oder b die Summe aus c und der kürzeren der Seiten a oder b überschreiten und damit die Ungleichung verletzen.

Beispiel: a = 4, b = 7. Dann gilt 3 < c < 11. Die dritte Seite kann jede reelle Zahl sein, die strikt zwischen 3 und 11 liegt.

Warum die "strenge Ungleichung" wichtig ist

Der Grenzfall a + b = c erzeugt ein "entartetes Dreieck" — drei kollineare Punkte. Einige Lehrbücher schließen entartete Dreiecke in ihre Definition von "Dreieck" ein (dann wird die Ungleichung zu ≤). Die vorherrschende Konvention verlangt jedoch eine strenge Ungleichung, und die meisten Rechner (einschließlich unseres) behandeln den Gleichheitsfall als ungültig.

Der gleiche Satz in Vektorform

Die Dreiecksungleichung verallgemeinert sich auf Vektoren. Für beliebige zwei Vektoren u und v in beliebiger Dimension gilt:

|u + v| ≤ |u| + |v|

(wobei die Gleichheit nur dann eintritt, wenn u und v genau in die gleiche Richtung zeigen, also im entarteten Fall). Dies ist die Dreiecksungleichung für die euklidische Norm. Dieselbe Struktur verallgemeinert sich weiter auf Innenprodukträume, normierte lineare Räume und metrische Räume — die Ungleichung ist eine der drei definierenden Axiome einer Metrik d: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Die geometrische Dreiecksungleichung ist also nicht nur eine Kuriosität der ebenen Geometrie — sie ist die definierende Eigenschaft des Begriffs "Abstand" in der Mathematik.

Häufige Fehler

• Nur eine der drei Ungleichungen zu überprüfen. Alle drei müssen erfüllt sein. (3, 4, 5) erfüllt a + b > c, aber es müsste auch a + c > b und b + c > a gelten — zum Glück trifft dies hier zu. Bei (3, 4, 8) versagt a + b > c: 3 + 4 = 7 < 8, also ist es ungültig. Man braucht nur EINEN einzelnen Verstoß zu finden, um das Dreieck auszuschließen, aber der Rechner testet zur Klarheit alle drei.
• ≥ statt > zu verwenden. Es handelt sich um eine strenge Ungleichung. Ein entartetes "Dreieck", bei dem alle drei Punkte kollinear sind, ist kein Dreieck.
• "Gültiges Dreieck" mit "gültigem Rechtwinkeldreieck" zu verwechseln. Die Dreiecksungleichung bestimmt, ob ÜBERHAUPT ein Dreieck existiert. Um zu prüfen, ob das Dreieck rechtwinklig ist, überprüfen Sie separat a² + b² = c² (Satz des Pythagoras, wobei c die längste Seite ist).
• Zu vergessen, dass alle Seiten positiv sein müssen. Eine Seitenlänge von 0 oder negativ kann unabhängig von den anderen Seiten kein Dreieck bilden.