Geometrie-Streckung-Rechner

Der Geometrie-Streckungskalculator behandelt Streckungen von einem beliebigen Mittelpunkt (nicht nur dem Ursprung) aus mit jedem nicht-null Skalierungsfaktor. Während der generische Geometrische-Transformation-Kalkulator eine Streckung mit dem Ursprung als Mittelpunkt annimmt (der einfache Fall), implementiert dieses Tool die vollständige Formel für eine Streckung um einen beliebigen Punkt. Dieses Tutorial erläutert geometrisch, was eine Streckung bewirkt, leitet die zweikoordinatige Transformationsregel her und zeigt, wie Streckung mit dem umfassenderen Konzept der Ähnlichkeit zusammenhängt.

Was eine Streckung bewirkt

Eine Streckung ist eine Transformation, die jeden Punkt einer Figur vom (oder zum) einem festen Mittelpunkt aus um denselben Faktor skaliert. Nach der Streckung gilt:

• Winkel bleiben erhalten — die Figur behält ihre Form.
• Längen werden mit dem Skalierungsfaktor k multipliziert.
• Flächen werden mit k² multipliziert.
• Der Streckungsmittelpunkt ist der einzige feste Punkt — er bewegt sich nicht.

Die Streckung ist die Grundlage des gesamten Konzepts der Ähnlichkeit: Zwei Figuren sind ähnlich, wenn die eine eine Streckung der anderen ist (ggf. kombiniert mit einer Drehung oder Spiegelung).

Die Transformationsregel

Für eine Streckung mit dem Mittelpunkt C = (cx, cy) und dem Skalierungsfaktor k wird ein Punkt P = (x, y) auf P' = (x', y') abgebildet, wobei:

x' = cx + k(x − cx)
y' = cy + k(y − cy)

Herkunft dieser Regel: Der Vektor von C zu P ist (x − cx, y − cy). Die Skalierung dieses Vektors mit k ergibt (k(x − cx), k(y − cy)). Addiert man diesen skalierten Vektor wieder zu C, erhält man das Bild P'. In kompakter Vektorform: P' = C + k(P − C).

Sonderfall — Streckung vom Ursprung aus

Wenn C = (0, 0) ist, vereinfacht sich die Formel zu:

x' = 0 + k(x − 0) = kx
y' = 0 + k(y − 0) = ky

Also (x, y) → (kx, ky). Dies ist die einfachere Version, die in den meisten einführenden Geometrie-Lehrbüchern zu finden ist. In der Praxis treten jedoch oft Streckungen um einen beliebigen Mittelpunkt auf, weshalb dieser Kalkulator die vollständige Regel implementiert.

Was der Skalierungsfaktor k steuert

Berechnetes Beispiel 1 — Streckung vom Ursprung aus

Punkt P = (4, 6), Mittelpunkt C = (0, 0), Skalierungsfaktor k = 2.

x' = 0 + 2(4 − 0) = 8
y' = 0 + 2(6 − 0) = 12
P' = (8, 12)

Das Bild ist doppelt so weit vom Ursprung entfernt wie das Original, in dieselbe Richtung.

Berechnetes Beispiel 2 — Streckung von einem beliebigen Mittelpunkt aus

Punkt P = (4, 6), Mittelpunkt C = (1, 2), Skalierungsfaktor k = 2.

x' = 1 + 2(4 − 1) = 1 + 6 = 7
y' = 1 + 2(6 − 2) = 2 + 8 = 10
P' = (7, 10)

Beachten Sie, dass P' NICHT einfach (8, 12) ist — der Mittelpunkt verschiebt das Ergebnis. Das Bild P' erfüllt: Der Vektor von C zu P' ist genau 2× so lang wie der Vektor von C zu P. Überprüfung: P − C = (3, 4), P' − C = (6, 8) — ja, verdoppelt.

Berechnetes Beispiel 3 — Verringerung mit Mittelpunkt

Punkt P = (10, 10), Mittelpunkt C = (4, 4), Skalierungsfaktor k = 0,5.

x' = 4 + 0,5(10 − 4) = 4 + 3 = 7
y' = 4 + 0,5(10 − 4) = 7
P' = (7, 7)

Das Bild liegt genau in der Mitte zwischen P und dem Mittelpunkt C — das bewirkt der Skalierungsfaktor 0,5.

Streckung einer ganzen Figur

Um ein Polygon oder eine Kurve zu strecken, wenden Sie dieselbe Streckungsregel auf jeden Punkt einzeln an. Für ein Polygon strecken Sie jede Ecke und verbinden sie in derselben Reihenfolge. Das Ergebnis hat:

• Die gleiche Anzahl von Ecken
• Die gleichen Winkel an entsprechenden Ecken
• Alle Seiten sind mit dem Faktor |k| skaliert (Absolutwert, da negatives k die Orientierung umkehrt, aber die Längen nicht negativ macht)
• Die Fläche ist mit k² skaliert (immer positiv — die Fläche kann nicht negativ sein, unabhängig vom Vorzeichen von k)

Wie Streckung Ähnlichkeit erzeugt

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn die eine durch eine Kombination aus Streckung, Drehung, Spiegelung und Verschiebung in die andere überführt werden kann. Das \"k\" in der Streckung IST der Ähnlichkeitsfaktor. Wenn ein Dreieck mit k = 3 gestreckt wird, ist das Bild-Dreieck zum Original ähnlich mit dem linearen Verhältnis 3 und dem Flächenverhältnis 9.

Dies ist der Grund, warum Streckung die einzige der vier grundlegenden Transformationen (Verschiebung, Spiegelung, Drehung, Streckung) ist, die KEIN kongruentes Bild erzeugt — sie erzeugt ein ähnliches. Die drei Isometrien ergeben alle Kongruenz; allein die Streckung bricht die Größenbeschränkung.

Anwendungen in der Praxis

• Kartenskalierung. Eine Karte im Maßstab 1:24.000 ist eine Streckung des realen Geländes mit k = 1/24.000.
• Architektonische Zeichnungen. Ein Bauplan im Maßstab 1/4\" = 1' ist eine Streckung mit k = 1/48.
• Zoom in der Computergrafik. Pinch-Zoom auf einem Smartphone ist eine Streckung mit dem Mittelpunkt in der Mitte zwischen Ihren beiden Fingern, mit k = (aktuelle Pinch-Distanz) / (ursprüngliche Pinch-Distanz).
• Optik von Mikroskopen und Teleskopen. Die Vergrößerung ist der Absolutwert des von dem optischen System erzeugten Streckungsfaktors, wobei die optische Achse als Mittelpunkt dient.

Häufige Fehler

• Verwechslung von Streckung und Verschiebung. Bei einer Verschiebung wird jeder Punkt um denselben Vektor verschoben. Bei einer Streckung wird jeder Punkt relativ zu einem festen Mittelpunkt skaliert — Punkte, die weiter vom Mittelpunkt entfernt sind, bewegen sich stärker.
• Vergessen, den Mittelpunkt vor der Skalierung abzuziehen. Die Formel lautet k × (Punkt − Mittelpunkt), nicht k × Punkt. Das Vergessen der Subtraktion führt zu falschen Ergebnissen, whenever der Mittelpunkt nicht der Ursprung ist.
• Verwirrung bei negativen Skalierungsfaktoren. Ein negatives k bedeutet, dass das Bild auf der gegenüberliegenden Seite des Mittelpunkts vom Original liegt. Es ist NICHT dasselbe wie eine Spiegelung an einer Achse.
• Annahme, dass sich die Fläche linear skaliert. Die Fläche skaliert mit k², nicht mit k. Eine Verdopplung der Längen vervierfacht die Fläche. Dies ist dieselbe Erkenntnis wie bei ähnlichen Polygonen.