幾何学拡大縮小計算機

幾何学的拡大縮小計算機は、原点だけでなく任意の中心点からの、任意の非ゼロの相似比による拡大縮小を処理します。一般的な幾何学的変換計算機は原点を中心とした拡大縮小（簡単なケース）を前提としていますが、このツールは任意の点を中心とした拡大縮小の完全な公式を実装しています。このチュートリアルでは、拡大縮小が幾何学的にどのような作用をするかを解説し、2次元座標の変換則を導出し、拡大縮小がより広い概念である「相似」とどのように関連しているかを示します。

拡大縮小とは

拡大縮小とは、図形のすべての点を、固定された中心から同じ比率で遠ざけ（または近づける）る変換です。拡大縮小後：

• 角度は保存され、図形の形状は保たれます。
• 長さは相似比 k 倍になります。
• 面積は k² 倍になります。
• 拡大縮小の中心だけが不動点であり、移動しません。

拡大縮小は相似という概念全体の源です：2つの図形は、一方が他方の拡大縮小（回転や反射を伴う場合もある）によって得られる場合、相似であるとみなされます。

変換則

中心 C = (cx, cy)、相似比 k の拡大縮小において、点 P = (x, y) は P' = (x', y') に写像されます。ここで：

x' = cx + k(x − cx)
y' = cy + k(y − cy)

この式の由来：C から P へのベクトルは (x − cx, y − cy) です。このベクトルを k 倍すると (k(x − cx), k(y − cy)) になります。これに C を加えると像 P' が得られます。コンパクトなベクトル形式では：P' = C + k(P − C)。

特殊ケース — 原点からの拡大縮小

C = (0, 0) の場合、公式は以下のように簡略化されます：

x' = 0 + k(x − 0) = kx
y' = 0 + k(y − 0) = ky

つまり (x, y) → (kx, ky) です。これは多くの入門幾何学教科書で見られる単純なバージョンです。しかし、実際の問題では任意の中心を含むことが多く、そのためこの計算機は完全な則を実装しています。

相似比 k が制御するもの

演習例1 — 原点からの拡大縮小

点 P = (4, 6)、中心 C = (0, 0)、相似比 k = 2。

x' = 0 + 2(4 − 0) = 8
y' = 0 + 2(6 − 0) = 12
P' = (8, 12)

像は、元の点と同じ方向で、原点から2倍の距離にあります。

演習例2 — 任意の中心からの拡大縮小

点 P = (4, 6)、中心 C = (1, 2)、相似比 k = 2。

x' = 1 + 2(4 − 1) = 1 + 6 = 7
y' = 1 + 2(6 − 2) = 2 + 8 = 10
P' = (7, 10)

P' が単に (8, 12) ではないことに注意してください。中心が結果をずらします。像 P' は次の条件を満たします：C から P' へのベクトルは、C から P へのベクトルのちょうど2倍です。確認：P − C = (3, 4)、P' − C = (6, 8) — はい、2倍になっています。

演習例3 — 中心を用いた縮小

点 P = (10, 10)、中心 C = (4, 4)、相似比 k = 0.5。

x' = 4 + 0.5(10 − 4) = 4 + 3 = 7
y' = 4 + 0.5(10 − 4) = 7
P' = (7, 7)

像は P と中心 C の中間点にあります。これが相似比 0.5 の意味です。

図形全体の拡大縮小

多角形や曲線を拡大縮小するには、各点に対して同じ拡大縮小則を個別に適用します。多角形の場合、各頂点を拡大縮小し、同じ順序で結ぶことで結果を得ます。結果として得られる図形は以下の性質を持ちます：

• 頂点数は同じ
• 対応する頂点における角度は同じ
• すべての辺の長さが |k| 倍になる（絶対値を取る理由は、負の k は向きを反転させるが長さを負にしないため）
• 面積が k² 倍になる（常に正 — k の符号に関わらず面積が負になることはない）

拡大縮小による相似の生成

2つの図形は、拡大縮小、回転、反射、平行移動の組み合わせによって一方を他方に変換できる場合、相似であるとみなされます。拡大縮小における「k」こそが相似の相似比そのものです。三角形を k = 3 で拡大縮小すると、像の三角形は元の三角形と相似で、線形比は 3、面積比は 9 になります。

これが、4つの基本変換（平行移動、反射、回転、拡大縮小）のうち、拡大縮小だけが合同な像を生成しない唯一の変換である理由です。拡大縮小は相似な像を生成します。他の3つ（等長変換）はすべて合同性を保ちますが、拡大縮小のみが大きさの制約を破ります。

現実世界での応用

• 地図の縮尺。 縮尺 1:24,000 の地図は、k = 1/24,000 による実際の地形の拡大縮小です。
• 建築図面。 1/4インチ = 1フィートのスケールを持つ設計図は、k = 1/48 による拡大縮小です。
• コンピュータグラフィックスのズーム。 スマホでのピンチズームは、2本の指の中点を中心とし、k = （現在のピンチ距離）/（初期のピンチ距離）とする拡大縮小です。
• 顕微鏡および望遠鏡の光学。 倍率は、光軸を中心とした光学系が生み出す拡大縮小率の絶対値です。

よくある間違い

• 拡大縮小と平行移動の混同。 平行移動はすべての点を同じベクトルだけスライドさせます。拡大縮小は、固定された中心相对于してすべての点をスケーリングするため、中心から遠い点ほど大きく動きます。
• スケーリング前に中心を引くことを忘れる。 公式は k × (点 − 中心) であり、k × 点ではありません。中心が原点でない場合、この引き算を忘れると誤った結果になります。
• 負の相似比に関する混乱。 負の k は、像が元の点に対して中心の反対側にあることを意味します。これは軸に対する反射とは異なります。
• 面積が線形にスケールすると仮定する。 面積は k ではなく k² に比例してスケールします。長さを2倍にすると面積は4倍になります。これは相似な多角形における教訓と同じです。