기하학 닮음 변환 계산기

기하학적 확대/축소 계산기는 원점뿐만 아니라 임의의 중심점에서 임의의 0이 아닌 확대비로 확대/축소를 처리합니다. 일반적인 기하학적 변환 계산기는 원점을 중심으로 하는 확대/축소(간단한 경우)를 가정하는 반면, 이 도구는 임의의 점을 중심으로 하는 확대/축소의 전체 공식을 구현합니다. 이 튜토리얼에서는 확대/축소가 기하학적으로 무엇을 수행하는지 설명하고, 두 좌표 변환 규칙을 유도하며, 확대/축소가 유사성이라는 더 넓은 개념과 어떻게 관련되는지 보여줍니다.

확대/축소의 성질

확대/축소는 도형의 모든 점을 고정된 중심에서 같은 비율만큼 멀어지거나(또는 가까워지도록) 스케일링하는 변환입니다. 확대/축소 후:

• 각도는 보존됩니다 — 도형의 모양이 유지됩니다.
• 길이는 확대비 k에 의해 곱해집니다.
• 넓이는 k²에 의해 곱해집니다.
• 확대/축소의 중심만이 고정점이며 움직이지 않습니다.

확대/축소는 유사성(similarity) 개념의 근원입니다: 한 도형이 다른 도형의 확대/축소 결과라면(회전이나 반사가 결합될 수도 있음), 두 도형은 서로 닮음입니다.

변환 규칙

중심 C = (cx, cy)와 확대비 k에 대한 확대/축소에서, 점 P = (x, y)는 P' = (x', y')로 매핑되며, 여기서:

x' = cx + k(x − cx)
y' = cy + k(y − cy)

이 공식의 유래: C에서 P로의 벡터는 (x − cx, y − cy)입니다. 이 벡터를 k배 스케일링하면 (k(x − cx), k(y − cy))가 됩니다. 이를 다시 C에 더하면 상 P'가 얻어집니다. 간결한 벡터 형식으로는 P' = C + k(P − C)입니다.

특수 경우 — 원점에서의 확대/축소

C = (0, 0)일 때, 공식은 다음과 같이 단순화됩니다:

x' = 0 + k(x − 0) = kx
y' = 0 + k(y − 0) = ky

즉, (x, y) → (kx, ky)입니다. 이는 대부분의 초급 기하학 교과서에서 찾을 수 있는 간단한 버전입니다. 그러나 실제 문제들은 종종 임의의 중심을 포함하므로, 이 계산기가 전체 규칙을 구현하는 이유입니다.

확대비 k가 제어하는 사항

실제 예제 1 — 원점에서의 확대/축소

점 P = (4, 6), 중심 C = (0, 0), 확대비 k = 2.

x' = 0 + 2(4 − 0) = 8
y' = 0 + 2(6 − 0) = 12
P' = (8, 12)

상 P는 원래 점에서와 같은 방향에 있으며 원점으로부터 두 배 더 멀리 있습니다.

실제 예제 2 — 임의의 중심에서의 확대/축소

점 P = (4, 6), 중심 C = (1, 2), 확대비 k = 2.

x' = 1 + 2(4 − 1) = 1 + 6 = 7
y' = 1 + 2(6 − 2) = 2 + 8 = 10
P' = (7, 10)

P'는 단순히 (8, 12)가 아님을 유의하십시오 — 중심이 결과를 이동시킵니다. 상 P'는 다음 조건을 만족합니다: C에서 P'로의 벡터는 정확히 C에서 P로의 벡터의 2배입니다. 확인: P − C = (3, 4), P' − C = (6, 8) — 맞습니다, 2배가 되었습니다.

실제 예제 3 — 중심을 포함한 축소

점 P = (10, 10), 중심 C = (4, 4), 확대비 k = 0.5.

x' = 4 + 0.5(10 − 4) = 4 + 3 = 7
y' = 4 + 0.5(10 − 4) = 7
P' = (7, 7)

상은 P와 중심 C 사이의 중간에 위치합니다 — 이것이 확대비 0.5가 수행하는 작업입니다.

전체 도형의 확대/축소

다각형이나 곡선을 확대/축소하려면 각 점에 동일한 확대/축소 규칙을 개별적으로 적용하십시오. 다각형의 경우 각 꼭짓점을 확대/축소하고 동일한 순서로 연결합니다. 결과는 다음을 가집니다:

• 동일한 수의 꼭짓점
• 대응하는 꼭짓점에서의 동일한 각도
• 모든 변이 크기 |k|로 스케일링됨 (절댓값은 음수 k가 방향을 반전시키지만 길이는 음수로 만들지 않기 때문임)
• 넓이가 k²로 스케일링됨 (항상 양수 — k의 부호와 상관없이 넓이는 음수가 될 수 없음)

확대/축소가 유사성을 생성하는 방법

두 도형은 확대/축소, 회전, 반사 및 병진의 조합으로 하나를 다른 하나로 변환할 수 있을 때 유사(similar)합니다. 확대/축소에서의 "k"는 바로 유사성의 확대비입니다. 삼각형이 k = 3으로 확대/축소되면, 상 삼각형은 원래 삼각형과 선형 비 3, 넓이 비 9로 닮음이 됩니다.

이것이 확대/축소가 네 가지 기본 변환(병진, 반사, 회전, 확대/축소) 중 유일하게 합동 이미지를 생성하지 않는 이유입니다 — 유사한 이미지를 생성합니다. 세 등거리 변환(isometry)은 모두 합동을 제공하지만, 확대/축소만 크기의 제약을 깨뜨립니다.

실생활 응용

• 지도 축척. 1:24,000 축척의 지도는 실제 지형을 k = 1/24,000으로 확대/축소한 것입니다.
• 건축 도면. 1/4" = 1' 축척의 설계도는 k = 1/48로 확대/축소한 것입니다.
• 컴퓨터 그래픽 줌. 스마트폰의 핀치 줌은 두 손가락의 중점을 중심으로, k = (현재 핀치 거리) / (초기 핀치 거리)인 확대/축소입니다.
• 현미경 및 망원경 광학. 배율은 광학 시스템이 생성하는 확대/축소 인자의 절댓값이며, 광축이 중심이 됩니다.

흔한 실수

• 확대/축소와 병진을 혼동. 병진은 모든 점을 동일한 벡터만큼 이동시킵니다. 확대/축소는 고정된 중심에 상대적인 모든 점을 스케일링합니다 — 중심에서 더 먼 점이 더 많이 이동합니다.
• 스케일링 전에 중심을 빼는 것을 잊음. 공식은 k × (점 − 중심)이지 k × 점이 아닙니다. 중심이 원점이 아닐 경우 이 빼기를 잊으면 잘못된 결과가 나옵니다.
• 음수 확대비 혼동. 음수 k는 상이 원래 점과 중심의 반대쪽에 있음을 의미합니다. 이는 축에 대한 반사와 동일하지 않습니다.
• 넓이가 선형으로 스케일링된다고 가정. 넓이는 k가 아닌 k²로 스케일링됩니다. 길이를 두 배로 하면 넓이는 네 배가 됩니다. 이는 닮은 다각형에서 배우는 것과 같은 교훈입니다.