거리 공식과 중점 공식은 좌표 기하학에서 가장 많이 사용되는 결과 중 두 가지입니다. 이들은 두 점 (x₁, y₁)과 (x₂, y₂)를 입력받아 즉시 (a) 두 점 사이의 거리와 (b) 이를 연결하는 선분의 정확한 중심을 제공합니다. 이 가이드는 두 공식을 처음부터 유도하고, 실습 예제를 보여주며, 3D로 확장합니다.
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)
이는 좌표에 적용된 피타고라스 정리 (a² + b² = c²)입니다. 두 점 (x₁, y₁)과 (x₂, y₂)를 취하세요:
그게 전부입니다. 피타고라스 정리를 외우면 거리 공식을 외운 셈입니다. 제곱은 뺄셈 순서가 중요하지 않게 만듭니다 (음수의 제곱 = 양수).
중점은 두 끝점의 평균 — 좌표별로입니다. 중점의 x는 두 x값의 평균; 중점의 y는 두 y값의 평균입니다:
이는 두 숫자의 산술 평균을 x와 y에 각각 적용한 것입니다.
거리: d = √((4 − 1)² + (6 − 2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
중점: M = ((1 + 4)/2, (2 + 6)/2) = (2.5, 4)
거리: d = √((4 − (−3))² + (−1 − 5)²) = √(7² + (−6)²) = √(49 + 36) = √85 ≈ 9.22
중점: M = ((−3 + 4)/2, (5 + (−1))/2) = (0.5, 2)
y가 같으면 y₂ − y₁ = 0:
d = √((10 − 3)² + 0²) = √49 = 7 (단순히 |x₂ − x₁|)
M = (6.5, 7)
"선분의 중점이 (4, 6)이고 한 끝점이 (1, 2)입니다. 다른 끝점을 찾으세요."
M_x = (x₁ + x₂)/2 → 4 = (1 + x₂)/2 → x₂ = 7
M_y = (y₁ + y₂)/2 → 6 = (2 + y₂)/2 → y₂ = 10
다른 끝점: (7, 10)
꼭짓점 A(0, 0), B(4, 0), C(2, 2√3 ≈ 3.464). 세 변 모두 찾기:
AB = √((4−0)² + (0−0)²) = 4
BC = √((2−4)² + (3.464−0)²) = √(4 + 12) = √16 = 4
CA = √((0−2)² + (0−3.464)²) = √(4 + 12) = √16 = 4
세 변 모두 = 4 ✓ → 정삼각형.
3D 점 (x₁, y₁, z₁)과 (x₂, y₂, z₂)에 대해:
같은 아이디어, 단 하나의 차원 추가. 예제: P(1, 2, 3)와 Q(4, 6, 8). 거리 = √(9 + 16 + 25) = √50 ≈ 7.07; 중점 = (2.5, 4, 5.5).
즉시 계산을 위해 거리와 중점 계산기를 사용하세요. 관련 섹션 공식 (1:1 비율이 아닌 임의 비율로 선분 나누기)에 대해서는 섹션 공식 계산기를 참조하세요.
이 공식들은 SAT/ACT/10학년 과정에 있나요? 네 — 두 공식 모두 전 세계 거의 모든 중등 기하학 과정의 핵심 커리큘럼입니다. SAT 수학, ACT, 그리고 인도 10학년 보드 시험에서 많이 출제됩니다.
점이 극좌표일 경우? 먼저 직교좌표로 변환: x = r·cos(θ), y = r·sin(θ). 그런 다음 위 공식을 적용하세요. 극거리 공식이 있지만 더 복잡합니다.
왜 거리는 항상 양수인가요? 제곱은 차이를 양수 (또는 0)로 만들고, 비음수 숫자의 제곱근은 비음수입니다. 거리는 결코 음수가 될 수 없습니다 — 그것은 길이, 크기입니다.