外角定理計算機

外角の定理とは、任意の三角形において、ある頂点における外角は、その頂点に隣接しない2つの内角（遠隔内角）の和に等しいというものです。これは幾何学において最も有用な角度に関する定理の一つであり、欠けている内角をまず求めることなく、他の2つの角から3つ目の角を計算することができます。このチュートリアルでは、外角の定義、定理の証明、3つのworked example（解付き例題）、および多边形への一般的な適用方法について解説します。

外角とは何か

三角形（または任意の多角形）の任意の頂点において、外角は、図形の1辺と、その頂点を過ぎた隣接する辺の延長線によって形成されます。

視覚的に説明すると：三角形ABCの頂点Cにおいて、辺BCを取り、それを頂点Cを過ぎるまで直線上で延長します。この延長線と辺CAとのなす角が、頂点Cにおける外角です。

外角は、常に同じ頂点にある内角と補角の関係にあります（1辺を共有し、もう1辺が延長線となっているため、直線＝180°を形成します）：

Cにおける外角 + Cにおける内角 = 180°

したがって、内角が60°の場合、外角は120°になります。鈍角である内角が130°の場合、（より小さい）外角は50°になります。

外角の定理

三角形ABCにおいて、頂点Cにおける外角（辺BCをCを過ぎるまで延長して形成される）は、2つの隣接しない（遠隔）内角 ∠A と ∠B の和に等しくなります：

Cにおける外角 = ∠A + ∠B

他の2つの頂点についても同様の法則が成り立ちます：Aにおける外角 = ∠B + ∠C、Bにおける外角 = ∠A + ∠C。

なぜ成り立つのか

この証明には2つの事実を用います：

1. 任意の三角形の内角の和は180°である。つまり、∠A + ∠B + ∠C = 180°。
2. Cにおける外角は内角Cと補角の関係にある：外角 + ∠C = 180°。

これらを組み合わせる：Cにおける外角 = 180° − ∠C = (∠A + ∠B + ∠C) − ∠C = ∠A + ∠B。✓

これが完全な証明です — 180°の和と補角の関係からの直接的な代数的帰結です。

解付き例題 1 — 外角の計算

三角形において ∠A = 50°、∠B = 70° です。Cにおける外角を求めなさい。

定理より：Cにおける外角 = ∠A + ∠B = 50° + 70° = 120°。

検算：Cにおける内角は 180° − 120° = 60° でなければなりません。確認：50° + 70° + 60° = 180°。✓

解付き例題 2 — 逆向きの計算

Cにおける外角が 110° です。Aにおける内角は 30° です。∠B を求めなさい。

定理より：Cにおける外角 = ∠A + ∠B → 110 = 30 + ∠B → ∠B = 80°。

解付き例題 3 — 3つの内角すべてを求めることなく角を証明する

ここで定理が真価を発揮します。2つの角が未知数であるが、特定の1つの外角がわかっている三角形において、定理を使えば、他の角を解くことなく直接3つ目の角を得られる場合があります。

例：問題文でAにおける外角が 130° であり、∠B = 70° であると言われた場合、∠C はいくらですか？

直接計算：130 = ∠B + ∠C → 130 = 70 + ∠C → ∠C = 60°。

∠C は1ステップで見つかりました。定理を使わなかった場合、まず内角 ∠A = 180 − 130 = 50° を計算し、次に 50 + 70 + ∠C = 180 を用いて ∠C = 60° を得ることになりますが、同じ答えが2ステップで求まります。

外角の不等式

定理から導かれる有用な系：三角形の各外角は、隣接しない2つの内角のいずれよりも大きくなります。（それはそれらの和に等しく、かつ両方の内角が正であるため。）

これはユークリッドが『原論』で他のいくつかの定理を証明するために用いたものであり、最も有名なのは「三角形において、長い辺は大きな角に向かい合う」という定理です。

遠隔内角

「遠隔」内角（「隣接しない」内角とも呼ばれる）は、外角と同じ頂点にない2つの内角のことです。頂点Cの外角の場合、遠隔内角は ∠A と ∠B であり（∠C は除く）、

「隣接」内角は、同じ頂点にある内角です — これは外角と補角の関係にあり、等しくありません。

任意の多角形の外角

「単一の」外角に関する定理は三角形に特有です。しかし、関連する事実は任意の凸多角形に適用されます：各頂点における外角（1つの進行方向を選択して）の総和は、常に正確に 360° です。

三角形の場合：3つの外角の和が360°。四角形の場合：4つの外角の和が360°。n角形の場合：n個の外角の和が360°。

これはnに依存しないため、最初は驚くべき事実かもしれません。幾何学的な意味：任意の凸多角形を1周歩き、各頂点で方向転換するとき、始点に戻った時点までにちょうど1回の完全な回転（360°）を行うことになります。

現実世界での応用

• 測量。 三角測量の計算では、到達不能な内角を直接測定することなく、距離や方位角を計算するために外角の関係を用います。
• 航海。 3つのランドマーク間の三角測量では、内角と外角の定理の両方が使用されます。
• 作図。 多くのコンパスと定規による作図では、角の二等分や三等分を行うために外角の関係を用います。
• コンピュータグラフィックス。 メッシュの三角分割や凸包アルゴリズムでは、多角形が「閉じる」ことを検出するために、外角の和が360°であることを利用します。

よくある間違い

• すべての3つの内角を外角に加える。 定理では隣接しない2つの内角のみを使用し、3つすべてではありません。3つ目を加えると、外角ではなく内角の和である180°になってしまいます。
• 同じ頂点にある外角と内角を混同する。 これらは等しくなく、補角の関係（和が180°）にあります。外角は内角の補角です。
• 三角形以外に適用する。 「外角＝2つの遠隔内角の和」という定理は三角形に特有です。辺の多い多角形の場合、単一の外角が遠隔内角の単純な和に等しくなることはなく、関係はより複雑になります。
• 延長の方向を軽視する。 三角形の各頂点には2つの可能な外角（頂点の両側に1つずつ）がありますが、これらは対頂角の関係にあり、どちらも等しいです。したがって、「外角」はその大きさにおいて明確に定義され、一意です。