幾何平均計算機

幾何平均とは、2つの正の数 a と b に対して √(a × b) — つまりそれらの積の平方根 — を指します。これは算術平均（和 / 個数）とは対照的に、2つの値の「乗法的平均」です。幾何平均は以下の3つの重要な場面で現れます：乗法的成長の問題（複利、スケール因子）、直角三角形の高さの定理（斜辺に対する高さは、斜辺を分ける2つの線分の幾何平均である）、および3項の等比数列の中央項としてです。このチュートリアルではこれらすべてを扱います。

定義

2つの正の数 a と b について：

幾何平均 = √(a × b)

注：a と b は両方とも正である必要があります（両方とも負でも構いませんが、√(負 × 負) の結果は正の場合と同じになります）。符号が混在する数の幾何平均は、実数値において未定義です。

算術平均と幾何平均

2つの正の数について、幾何平均は常に算術平均以下となります（AM-GM不等式）：

√(a × b) ≤ (a + b) / 2。等号成立は a = b のみです。

これは数学における基礎的な不等式の1つです。等号が成り立つのは、2つの数が等しい場合のみです（例：どちらも5の場合：GM = √25 = 5、AM = (5+5)/2 = 5）。

例題1 — 基本的なGM

4と9の幾何平均：GM = √(4 × 9) = √36 = 6。

算術平均と比較：AM = (4 + 9) / 2 = 6.5。予想通り GM < AM です。

4, 6, 9 は共通比 6/4 = 1.5 および 9/6 = 1.5 を持つ3項の等比数列を形成していることに注目してください。初項と末項の幾何平均が中央項となります。

直角三角形の高さの定理

幾何平均が幾何学で光を発するのはここです。頂点 C に直角を持つ直角三角形において、C から斜辺へ垂線を引きます。この高さは斜辺を2つの線分に分割します — それらを p（ある直角辺に隣接）および q（もう一方の直角辺に隣接）と呼びましょう。

すると、同時に3つの幾何平均の関係が成り立ちます：

1. 高さ： h = √(p × q)。斜辺に対する高さは、斜辺を分ける2つの線分の幾何平均です。
2. 直角辺1（長さ a）： a = √(p × c)。ここで c = p + q は斜辺の全長です。直角辺は、それに隣接する線分と斜辺全体の幾何平均です。
3. 直角辺2（長さ b）： b = √(q × c)。上記と同様の関係が他の直角辺にも成り立ちます。

これら3つの関係は直角三角形の高さの定理と呼ばれ、「幾何平均の定理」や「ユークリッドの定理」（『原論』命題II.14）とも呼ばれます。

例題2 — 高さの定理

C に直角を持つ直角三角形 ABC。C から斜辺 AB への垂線は AB と点 D で交わり、AB を AD = 4 および DB = 9 の2つの線分に分割します。

高さ CD = √(4 × 9) = √36 = 6。

直角辺 AC = √(4 × 13) = √52 ≈ 7.21。（ここで c = 4 + 9 = 13。）

直角辺 BC = √(9 × 13) = √117 ≈ 10.82。

ピタゴラスの定理で検証：AC² + BC² = 52 + 117 = 169 = 13² = c²。✓

なぜ高さの定理が成り立つのか？

直角からの垂線は、3つの相似な三角形を作ります：元の直角三角形と、その内部に作られる2つの小さな直角三角形です。これら3つはすべてAA相似です（それぞれが直角と、元の三角形からの別の角を共有するため）。

相似な三角形の対応する辺は比例しています。高さの定理は、これらの比例関係を幾何平均の形で表したものです。

例題3 — 等比数列の中央項

8と50の間にどのような数を挿入すれば、3項の等比数列になりますか？

中央項は幾何平均です：GM = √(8 × 50) = √400 = 20。

検証：8, 20, 50 の比は 20/8 = 2.5 および 50/20 = 2.5 です。✓ 共通比 2.5 の等比数列。

n個の数の幾何平均

2つの数のケースは一般化されます。n個の正の数 x₁, x₂, ..., xₙ について：

GM = (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n) — 積の n 乗根です。

3つの数の場合：GM = ∛(x₁ × x₂ × x₃)。4つの数の場合：GM = ⁴√(x₁ × x₂ × x₃ × x₄)。以下同様です。

幾何平均の単位は値の単位と同じであり（単位² ではありません）、高さの定理における幾何平均とは異なります。

現実世界での応用

• 複利年率（CAGR）。 年ごとの成長率が異なる場合、「年平均成長率」は算術平均ではなく幾何平均です。ある年に20%成長し、翌年に10%成長した株式の場合、平均成長率は (20 + 10)/2 = 15% ではなく、√(1.2 × 1.1) ≈ 14.89% です。
• 写真撮影。 2つのF値（これらは乗法的です）の「平均」は幾何平均を使用します。f/2.0 と f/8.0 の幾何平均は √(2 × 8) = f/4.0 です。
• アスペクト比。 標準的な写真や画面のアスペクト比は、一般的な比の幾何平均であることが多いです（例：ISO 216 用紙サイズでは、一貫した縦横比として √2 が使用されます）。
• 工学 — 荷重試験。 耐久試験サイクルでは、疲労等級を特徴づけるために幾何平均が使用されます。

GMとAMの使い分け

よくある間違い

• GMが必要な箇所でAMを使用する。 乗法的な量（金利、成長係数）の場合、算術平均は誤った「平均」を与えます。GMが正しいです。
• 負の数の幾何平均を計算する。 GM = √(a × b) には a × b > 0 が必要です。符号が混在すると、結果は虚数となり、現実の文脈では意味を持ちません。
• 高さの定理のバリエーションを混同する。 3つの異なる幾何平均が適用されます（高さ、直角辺1、直角辺2）。求める値に対して適切なものを使用してください：h は2つの線分を使用し、直角辺は1つの線分と斜辺全体を使用します。
• GM ≤ AM を忘れる。 これは有用な妥当性チェックです。GMがAMを超えている場合、計算ミスがあります。