2D 도형, 3D 입체, 좌표 기하학을 위한 모든 필수 공식 — 카테고리별로 정리되어 있으며, 각 공식마다 무료 계산기에 한 번의 클릭으로 접근 가능. 54+개 공식, 가입 불필요.
기하학은 반복적으로 사용하는 소수의 핵심 공식들 위에 세워집니다. 가장 많이 검색되는 것은 표준 도형의 넓이, 둘레, 부피, 표면적 — 그리고 피타고라스 정리, 거리와 중점 공식, 다각형 내각의 합 (n − 2) × 180°입니다. 이것들을 외우면 고등학교에서 마주치는 기하 문제의 약 80%를 커버할 수 있습니다.
아래에 54+ 개의 공식을 카테고리별로 정리한 완전한 참고서가 있습니다. 각 항목은 공식 자체, 한 줄 설명, 무료 계산기로의 직접 링크를 포함합니다. 가입 불필요, 페이월 없음.
모든 기하 방정식, 기하 도형 공식, 특정 기하 넓이 공식, 또는 단순한 기본 기하 공식을 찾고 있든 — 모든 필수 방정식이 아래 섹션 중 하나에 있습니다. 2D 도형(원, 삼각형, 다각형, 사각형)부터 3D 입체(정육면체, 원기둥, 구, 원뿔, 피라미드)와 좌표 기하(거리, 중점, 기울기)까지 — 학년 내내 북마크할 수 있는 단일 참조입니다.
가장 일반적인 기하 공식 — 넓이, 둘레, 피타고라스, 사인/코사인 법칙, 헤론 공식.
| 공식 | 방정식 | 비고 | 계산 |
|---|---|---|---|
| 삼각형 둘레 | P = a + b + c |
세 변의 합. | 사용 |
| 삼각형 넓이 (밑변 × 높이) | A = ½ × b × h |
b = 밑변, h = 그 밑변에 대한 수직 높이. | 사용 |
| 헤론 공식 | A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) |
s = (a+b+c)/2 (반둘레). 세 변만 알 때 사용. | 사용 |
| 피타고라스 정리 | a² + b² = c² |
직각삼각형에만 적용 — c는 빗변. | 사용 |
| 코사인 법칙 | c² = a² + b² − 2ab·cos(C) |
피타고라스를 임의의 삼각형으로 일반화. | 사용 |
| 사인 법칙 | a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) |
ASA, AAS, SSA 삼각형에 사용. | 사용 |
| 45-45-90 삼각형 | sides = 1 : 1 : √2 |
직각이등변 — 빗변 = 변 × √2. | 사용 |
| 30-60-90 삼각형 | sides = 1 : √3 : 2 |
특수 직각삼각형 — 긴 변 = 짧은 변 × √3. | 사용 |
| 닮음 삼각형 비율 | side'/side = scale factor k |
모든 대응하는 변은 같은 k로 비례한다. | 사용 |
정사각형, 직사각형, 마름모, 평행사변형, 사다리꼴 — 모든 사각형의 넓이와 둘레 공식.
| 공식 | 방정식 | 비고 | 계산 |
|---|---|---|---|
| 정사각형 넓이 | A = s² |
s = 변의 길이. | 사용 |
| 정사각형 둘레 | P = 4s |
사용 | |
| 직사각형 넓이 | A = l × w |
l = 길이, w = 너비. | 사용 |
| 직사각형 둘레 | P = 2(l + w) |
사용 | |
| 평행사변형 넓이 | A = b × h |
b = 밑변, h = 수직 높이 (기울어진 변 아님). | 사용 |
| 평행사변형 둘레 | P = 2(a + b) |
a, b = 두 다른 변의 길이. | 사용 |
| 마름모 넓이 | A = ½ × d₁ × d₂ |
d₁, d₂ = 두 대각선. | 사용 |
| 사다리꼴 넓이 | A = ½ × (b₁ + b₂) × h |
b₁, b₂ = 평행 밑변, h = 수직 높이. | 사용 |
| 사다리꼴 중점선 | m = (b₁ + b₂) / 2 |
두 평행 밑변의 평균. | 사용 |
넓이, 둘레, 부채꼴, 호의 길이 — 원의 모든 계산은 π와 반지름에서 유도.
| 공식 | 방정식 | 비고 | 계산 |
|---|---|---|---|
| 원의 넓이 | A = π × r² |
r = 반지름. 동등: A = π·d²/4. | 사용 |
| 원주 | C = 2π × r = π × d |
원의 "둘레". d = 2r = 지름. | 사용 |
| 지름 | d = 2 × r |
사용 | |
| 부채꼴 넓이 | A_sector = ½ × r² × θ |
θ는 라디안. 도수일 때: A = (θ°/360) × π × r². | 사용 |
| 호의 길이 | L = r × θ |
θ는 라디안. 도수일 때: L = (θ°/360) × 2π × r. | 사용 |
| 표준 방정식 | (x − h)² + (y − k)² = r² |
중심 (h, k), 반지름 r. 좌표 기하 형식. | 사용 |
| 원주각 | ∠inscribed = ½ × ∠central |
원에 내접하는 각은 같은 호를 받치는 중심각의 절반. | 사용 |
내각/외각, 정다각형의 넓이, 임의의 불규칙 다각형을 위한 신발끈 공식.
| 공식 | 방정식 | 비고 | 계산 |
|---|---|---|---|
| 내각의 합 | S = (n − 2) × 180° |
n = 변의 수. 오각형 (n=5) → 540°. | 사용 |
| 각 내각 (정다각형) | a = (n − 2) × 180° / n |
정다각형(모든 변이 같음)에 적용. 육각형 → 120°. | 사용 |
| 외각의 합 | 360° (always, for any convex polygon) |
n과 무관. | 사용 |
| 각 외각 (정다각형) | e = 360° / n |
육각형 → 60°, 팔각형 → 45°. | 사용 |
| 각의 합으로 변의 수 | n = S / 180° + 2 |
역: S로부터 n을 복원. | 사용 |
| 정다각형 넓이 | A = ¼ × n × s² × cot(π/n) |
s = 변 길이. 동등: A = ½ × P × 변심거리. | 사용 |
| 신발끈 공식 (임의의 다각형) | A = ½ × |Σᵢ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)| |
꼭짓점 좌표로 정의된 불규칙 다각형에 적용. | 사용 |
정육면체, 직육면체, 구, 원기둥, 원뿔, 각뿔의 부피와 표면적.
| 공식 | 방정식 | 비고 | 계산 |
|---|---|---|---|
| 정육면체 부피 | V = s³ |
s = 모서리 길이. | 사용 |
| 정육면체 표면적 | SA = 6s² |
사용 | |
| 직육면체 부피 | V = l × w × h |
직육면체 부피. | 사용 |
| 직육면체 표면적 | SA = 2(lw + lh + wh) |
사용 | |
| 원기둥 부피 | V = π × r² × h |
r = 반지름, h = 높이. | 사용 |
| 원기둥 표면적 | SA = 2πr² + 2πrh |
원형 뚜껑 2개 + 옆면 직사각형. | 사용 |
| 구의 부피 | V = (4/3) × π × r³ |
사용 | |
| 구의 표면적 | SA = 4 × π × r² |
큰 원 4개의 넓이와 같음. | 사용 |
| 원뿔 부피 | V = (1/3) × π × r² × h |
같은 밑면 + 높이의 원기둥의 정확히 ⅓. | 사용 |
| 원뿔 표면적 | SA = πr² + πrl |
l = 모선 = √(r² + h²). | 사용 |
| 원뿔 옆넓이 | LSA = π × r × l |
곡면만, 밑면 없음. | 사용 |
| 정사각뿔 부피 | V = (1/3) × b² × h |
b = 밑변. | 사용 |
| 직육면체 공간 대각선 | d = √(l² + w² + h²) |
3D 피타고라스. | 사용 |
거리, 중점, 기울기, 분점 공식 — 해석 기하학의 핵심.
| 공식 | 방정식 | 비고 | 계산 |
|---|---|---|---|
| 두 점 사이의 거리 | d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) |
좌표에 적용된 2D 피타고라스. | 사용 |
| 중점 공식 | M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) |
선분의 정확한 중심. | 사용 |
| 직선의 기울기 | m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) |
수직 변화 ÷ 수평 변화. 수직선: 정의되지 않은 기울기. | 사용 |
| 기울기-절편 형식 | y = mx + b |
m = 기울기, b = y절편. | 사용 |
| 점-기울기 형식 | y − y₁ = m(x − x₁) |
한 알려진 점 + 기울기로 직선 만들기. | 사용 |
| 내분점 공식 | P = ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)) |
m : n으로 내분하는 점. | 사용 |
| 3D 거리 | d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²) |
2D 거리 공식에 z축 추가. | 사용 |
| 평행선 | m₁ = m₂ |
기울기가 같음. | 사용 |
| 수직선 | m₁ × m₂ = −1 |
음의 역수 기울기. | 사용 |
고등학교 수준: 삼각형/직사각형/원/평행사변형/사다리꼴의 넓이 + 둘레; 정육면체/원기둥/구의 부피 + 표면적; 피타고라스 정리(a² + b² = c²); 거리 공식; 다각형 내각의 합 (n − 2) × 180°. 나머지는 이들로부터 몇 초 안에 유도할 수 있습니다.
둘레는 윤곽을 측정합니다(1D — cm 같은 단위). 넓이는 2D 표면을 측정합니다(cm² 같은 단위). 부피는 입체 내부의 3D 공간을 측정합니다(cm³ 같은 단위). 한 변 5 cm 정사각형의 둘레는 20 cm, 넓이는 25 cm², (정육면체로) 부피는 125 cm³입니다.
n 변 다각형은 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 (n − 2) 개의 겹치지 않는 삼각형으로 나눌 수 있습니다. 각 삼각형의 내각의 합은 180°이므로 다각형의 총 내각의 합은 (n − 2) × 180°. 오각형(n = 5)은 3 개 삼각형으로 분할 → 540°.
밑변과 그 밑변에 대한 수직 높이가 있을 때는 ½ × 밑변 × 높이를 사용. 세 변의 길이만 알고 있을 때(높이 없음)는 헤론 공식을 사용. 헤론: A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = (a+b+c)/2.
옆넓이(LSA = πrl)는 곡면만이며, l = √(r² + h²)는 모선. 전체 표면적(SA = πr² + πrl)은 원형 밑면을 더함. 원뿔을 감쌀 때(페인트, 천)는 옆넓이를, 완전히 둘러쌀 때는 전체 표면적을 사용.
위의 모든 공식은 유클리드(평면) 기하학과 데카르트(직각) 좌표계를 사용합니다. 변환 없이는 구면 기하학(지구 표면), 쌍곡 기하학, 비데카르트 좌표계(극좌표, 원기둥 좌표)에는 적용되지 않습니다. 일상의 학교 및 공학 수학에는 유클리드 커버리지로 충분합니다.
네. 이 페이지의 모든 공식은 무료이며 무제한 사용할 수 있는 계산기로 연결됩니다 — 가입 불필요. AI 단계별 설명은 각 3 크레딧(모든 계정은 가입 시 30 무료 크레딧 받음).