内接円計算機

内接円計算機は、三角形の内部に収まり、3辺すべてに接する最大の円の半径を求めます。この円を内接円と呼び、その半径を内半径（記号: r）と呼びます。その中心である内心は、4つの古典的な「三角形の中心」（重心、外心、垂心とともに）の一つです。このチュートリアルでは、公式 r = Area / s が導かれる理由を説明し、具体的な計算例を示した上で、内接円と外接円の違いについて対比します。

内接円とは

内接円とは、以下の条件をすべて満たす唯一の円です：

• 三角形の内側に内接している（境界線内に完全に収まっている）
• 3辺すべてに接している（各辺とちょうど1点で接する）
• そのような円の中で最大である（3辺すべてに接しながら、これより大きな円は存在しない）

内接円の中心である内心は、三角形の3つの角の二等分線が交わる点です。すべての三角形には内接円がただ一つ存在し、その中心は3辺から等距離にあります。この等しい距離が内半径 r です。

公式 r = Area / s

内半径は、三角形の面積と半周長を用いて計算されます：

r = Area / s、ここで s = (a + b + c) / 2

これは平面幾何学において最も簡潔な公式の一つです。これが成り立つ幾何学的な理由を以下に示します。

内心 I を3つの頂点それぞれに結びます。これにより、元の三角形は3つの小さな三角形に分割されます。それぞれの小さな三角形は、元の三角形の一辺を底辺とし、内心を頂点とします。各小さな三角形の高さ（I から底辺への垂直距離）は、構成上 I が3辺から等距離にあるため、まさに内半径 r に等しくなります。

各小さな三角形の面積は (1/2) × 底辺 × r です：

• 辺 a 上の小さな三角形: (1/2)(a)(r)
• 辺 b 上の小さな三角形: (1/2)(b)(r)
• 辺 c 上の小さな三角形: (1/2)(c)(r)

3つの面積の和は、元の三角形の面積に等しくなります：

Area = (1/2)(a + b + c)(r) = (s)(r)

r について解くと：r = Area / s。証明終。

計算機による面積の算出方法

計算機は、3辺の長さから三角形の面積を求めるためにヘロンの公式を使用します：

Area = √(s(s − a)(s − b)(s − c))

ここで s は前述と同じ半周長です。ヘロンの公式は3辺のみが必要であり、角度は必要ありません。

計算例

入力値： a = 3, b = 4, c = 5 （3-4-5の直角三角形）。

1. 半周長: s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6。
2. 面積（ヘロン）: √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6。（3-4-5三角形の面積は6です。なぜなら、脚が3と4の直角三角形であるため、面積 = (1/2)(3)(4) = 6 となるからです。）
3. 内半径: r = Area / s = 6 / 6 = 1。

3-4-5三角形の内半径はちょうど1です。これは「きれいな」例であり、すべての数値が整数で綺麗に求まるため、公式と計算機が一致していることを確認するのに有用な検算となります。

内接円と外接円

内接円（本計算機）は三角形の内部にあり、3辺すべてに接しています。それが内部に収まる最大の円です。

外接円（または「circumcircle」）は三角形の3つの頂点をすべて通ります。その中心は外心（各辺の垂直二等分線の交点）です。外接円は常に内接円よりも大きく、鈍角三角形の場合、外心は三角形の外部に位置します。

3-4-5三角形において、外接半径は斜辺のちょうど半分です：R = 5/2 = 2.5。したがって r = 1、R = 2.5 となり、外接円の半径は内接円の半径の2.5倍です。一般的な関係式 R ≥ 2r はすべての三角形で成立します（オイラーの不等式）。等号が成り立つのは正三角形の場合のみです。

知っておくと便利な他の内半径の公式

• 内半径から内接円の面積へ： A_incircle = πr²。
• 一辺が s の正三角形の内半径： r = s/(2√3) = s√3/6。
• 脚が a, b、斜辺が c の直角三角形の内半径： r = (a + b − c)/2。（3-4-5で試してみましょう：r = (3 + 4 − 5)/2 = 1。上記の例と一致します。）

実世界での応用

• 最大の内接物体。 金属板、木材、または紙の三角形シートから可能な限り大きな円形の部品を切り出す場合、内接円が最大直径を示します。
• 設計における三角形の中心。 CADにおいて、内心は三角形の角の内側をフィレ加工（丸める）する際に使用されます。フィレの半径が内半径を超えると、他の辺と交差してしまいます。
• 数学オリンピックの問題。 競技幾何の問題の大部分は、内半径、外接半径、またはそれらの関係（d² = R² − 2Rr というオイラーの公式。ここで d は内心と外心の間の距離）を含みます。

よくある間違い

• 半周長ではなく全周長を使用する。 公式は r = Area / s であり、s = (a+b+c)/2 は周長の半分です。全周長を使用すると、内半径が半分になってしまいます。
• 内接円と外接円を混同する。 外接円は頂点を通ります（外側が内側に触れる）；内接円は辺に接します（内側が外側に触れる）。入れ替えやすいので注意が必要です。
• 三角不等式を忘れる。 入力値が有効な三角形を形成しない場合（一方の辺が他の2辺の和以上）、ヘロンの公式は 0 または NaN を返します。この場合、内半径は定義されません。
• 単位を混ぜる。 3辺はすべて同じ単位でなければなりません。内半径は同じ単位で出力され、内接円の面積は二乗された単位になります。