余弦定理計算機

余弦定理は、三角形を解くための2つの普遍的なツールのうちの2つ目です。もう一つは正弦定理です。正弦定理がAAS（角-角-辺）、ASA（角-辺-角）、SSA（辺-辺-角：対応する辺と角の組がある場合）に適用されるのに対し、余弦定理はそれらが当てはまらないケース、すなわちSSS（3辺）およびSAS（2辺とその間の角）の場合に使用されます。また、その間の角が90°のとき、ピタゴラスの定理に帰着するため、すべての三角形に対するピタゴラスの定理の自然な一般化となります。このチュートリアルでは、余弦定理の陈述、証明、正弦定理との使い分け、そしてSSSおよびSASの場合の数値例について解説します。

余弦定理の陈述

辺の長さをa, b, cとし、辺cに対向する角をCとする任意の三角形において：

c² = a² + b² − 2ab · cos(C)

対称性より、他の2つの角についても同様の関係が成り立ちます（変数名を書き換える）：

• a² = b² + c² − 2bc · cos(A)
• b² = a² + c² − 2ac · cos(B)
• c² = a² + b² − 2ab · cos(C)

3辺の長さから角を求める場合は、cos(C)について解くように式を変形します：

cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab)

ピタゴラスの定理との関係

C = 90°のとき、cos(C) = 0となるため、公式は以下のように簡略化されます：

c² = a² + b² − 2ab · 0 = a² + b²

これはピタゴラスの定理そのものです。したがって、余弦定理は厳密な一般化であり、任意の三角形で成立します。ここで「−2ab·cos(C)」の項は、三角形が直角三角形となったときに消滅する「補正項」として機能します。

この補正項の符号は、三角形の形状に関する情報も示しています：

• cos(C) > 0 （Cは鋭角、< 90°）：補正項は正となり、c² < a² + b² （cの長さはピタゴラスの定理で予測されるよりも短い）。Cにおける三角形は鋭角です。
• cos(C) = 0 （Cはちょうど90°）：補正項は消滅します。Cにおける三角形は直角三角形です。
• cos(C) < 0 （Cは鈍角、> 90°）：補正項は負となり、c² > a² + b² （cの長さはピタゴラスの定理で予測されるよりも長い）。Cにおける三角形は鈍角です。

これは、見かけ上は逆ピタゴラスの定理テストとなっています。

座標幾何学による証明

三角形を座標平面上に配置します。頂点Aを原点に置き、辺ABを正のx軸上に長さcで配置し、頂点Bを(c, 0)とします。頂点Cをx軸の上方のどこかに置きます。

角Aおよび辺b（AからCまでの距離）を用いると、Cの座標は次のようになります：

C = (b · cos(A), b · sin(A))

3番目の辺aは、B = (c, 0) から C = (b·cos(A), b·sin(A)) へ伸びています。距離公式を適用します：

a² = (b·cos(A) − c)² + (b·sin(A))²
= b²cos²(A) − 2bc·cos(A) + c² + b²sin²(A)
= b²(cos²(A) + sin²(A)) − 2bc·cos(A) + c²
= b² + c² − 2bc·cos(A)

中央の行では、三角関数の基本恒等式 cos² + sin² = 1 を使用しました。これにより余弦定理が得られます。

余弦定理と正弦定理の使い分け

覚え方：対応する辺と角の組がまだ知らされていない場合は、余弦定理を使用する。その後、必要に応じて1組でも組が揃えば正弦定理に切り替えます。

数値例 — SSS

辺 a = 5, b = 7, c = 9 の三角形。3つの角すべてを求めよ。

まずC（最長辺に対向する角。通常これが最も安全なアプローチです）から始めます：

cos(C) = (5² + 7² − 9²) / (2 · 5 · 7) = (25 + 49 − 81) / 70 = −7/70 = −0.1

C = arccos(−0.1) ≈ 95.74° （c² > a² + b² であることから予想通り、鈍角です）。

次にAを求めます：

cos(A) = (7² + 9² − 5²) / (2 · 7 · 9) = (49 + 81 − 25) / 126 = 105/126 ≈ 0.8333

A = arccos(0.8333) ≈ 33.56°。

3番目の角：B = 180° − 95.74° − 33.56° = 50.70°。（Bについても余弦定理で検証できますが、和が180°になるかの確認の方が速いです。）

数値例 — SAS

辺 a = 8, b = 10、およびその間の角 C = 60° の三角形。辺 c を求めよ。

c² = 8² + 10² − 2(8)(10)cos(60°) = 64 + 100 − 160(0.5) = 164 − 80 = 84

c = √84 ≈ 9.17。

その後、他の角を求めるには正弦定理に切り替えます：

sin(A) / 8 = sin(60°) / 9.17

sin(A) = 8 · sin(60°) / 9.17 ≈ 8 · 0.866 / 9.17 ≈ 0.755

A = arcsin(0.755) ≈ 49.11°。

B = 180° − 60° − 49.11° = 70.89°。

なぜ余弦定理には「曖昧な場合」がないのか

SSSの場合、3辺の長さは三角形を合同を除いて一意に決定します。余弦定理はcos(C)を直接計算し、arccosは(0°, 180°)の範囲で一意の角度を返すため、曖昧さは生じません。

SASの場合、角が既知であるため、3番目の辺は一意に決定されます。これも曖昧さは生じません。

これに対して、正弦定理で扱うSSAの場合、arcsinは2つの補角のいずれかを返し、どちらが有効かを手動で選択する必要があります。余弦定理は、関連する範囲で単一値をとるarccosを用いることで、この問題を回避しています。

ベクトル形式での一般化

余弦定理は、内積の幾何学的記述でもあります。2つのベクトル u と v の間の角を θ とすると：

u · v = |u| · |v| · cos(θ)

展開して整理します。u と v が角 θ で交わる三角形の2辺である場合、3番目の辺 w = v − u は |w|² = |v|² + |u|² − 2|u||v|cos(θ) を満たします。これはまさに余弦定理です。

これが、余弦定理が高次元幾何学へと自然に拡張される理由です。それは、見かけ上は隠された内積の公式だからです。

よくある間違い

• −2ab·cos(C) 項の符号ミス。 一部の学生は +2ab·cos(C) と書いてしまいます。公式には 2ab·cos(C) の前にマイナス符号があります。これはピタゴラスの定理への帰着によって確認できます（C = 90° のとき、cos(C) = 0 となり項が消滅します。もし符号がプラスであれば、公式は正しく帰着されません）。
• sin/cos表を鋭角のみに使用しようとする。 余弦定理は鈍角三角形を含む任意の三角形に適用可能です。鈍角のcosは負になります。負の値のarccosは(90°, 180°)の範囲の角度を返します。公式はこの状況を自動的に処理します。
• どの辺がcなのかを混同する。 公式 c² = a² + b² − 2ab·cos(C) では、Cがcに対向する角であり、aとbがCに隣接する2辺であることが必要です。この対応関係を間違えると、公式は意味のない結果を返します。
• cを求める際に平方根を取るのを忘れる。 公式は c² を与えるものであり、c ではありません。最後に √ を適用してください。